Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Trzy ładunki punktowe leżą na prostej: −1 µC po lewej, +3 µC po prawej w odległości 40 cm i +6 µC między nimi, 10 cm od lewego ładunku. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na środkowy ładunek. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −1 µCq_R = +3 µCq_M = +6 µCr_L = 10 cmr_R = 30 cm

F = N

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 4 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 8 µC leży 8 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 3 µC leży 3 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 8 µCq₂ = 3 µCq₃ = 4 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 8 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 2 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 10 Ω

I_R2 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przez cewkę płynie ustalony prąd 3 A. W t = 0 łącznik zamyka obwód przez R, a źródło zostaje odłączone, więc prąd cewki zanika przez R. Wyznacz prąd i w chwili t = 5 ms.

i(0) = 3 AR = 20 ΩL = 47 mHt = 5 ms

i = A

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 3 V o zaznaczonej biegunowości. Po jakim czasie v_C osiągnie 12,6 V? Wyznacz t.

V_s = 15 VR = 1 kΩC = 68 µFv_C(0) = 3 V

t = ms

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Cewka o 50 zwojach, polu powierzchni 50 cm² i oporze 20 Ω tworzy obwód zamknięty. Jednorodne pole prostopadłe do cewki rośnie równomiernie od 0,1 T do 0,9 T w czasie 250 ms. Znajdź średni prąd indukowany I.

N = 50A = 50 cm²B: 0,1 T → 0,9 TΔt = 250 msR = 20 Ω

I = mA

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Dwie cewki o indukcyjnościach własnych 20 mH i 5 mH mają współczynnik sprzężenia 0,9. Prąd w pierwszej cewce zmienia się z szybkością 20 A/s. Znajdź SEM ε indukowaną w drugiej cewce.

L₁ = 20 mHL₂ = 5 mHk = 0,9di/dt = 20 A/s

ε = V

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC z C = 4,7 µF ma być w rezonansie przy 1000 Hz. Wyznacz potrzebną indukcyjność L.

f₀ = 1000 HzC = 4,7 µF

L = mH

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Rezystor R₁ jest połączony szeregowo z równoległym połączeniem R₂ i kondensatora C i podłączony do zasilania 230 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz moduł impedancji |Z|.

V = 230 V (rms)f = 200 HzR₁ = 30 ΩR₂ = 40 ΩC = 10 µF

|Z| = Ω

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 7,192 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Siła od każdego ładunku

Zwrot w prawo jest dodatni.

F_L = −k·1·6 × 10⁻¹²/0,1² = −5,394 N

F_R = −k·3·6 × 10⁻¹²/0,3² = −1,798 N

Siła wypadkowa

F = −5,394 + (−1,798) = −7,192 N → |F| = 7,192 N

Odpowiedź

F = 7,192 N

Siła wypadkowa jest skierowana w lewo.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 128 N

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·8·4 × 10⁻¹²/0,08² = 44,95 N

F₂ = k·3·4 × 10⁻¹²/0,03² = 119,9 N

Suma wektorowa

F = √(44,95² + 119,9²) = 128 N

Odpowiedź

F = 128 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 2,946 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 2 + 6 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 3·8/(3+8) = 2,182 Ω

R_eq = R₁ + 2,182 = 8 + 2,182 = 10,18 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/10,18 = 2,946 A

Odpowiedź

I_R1 = 2,946 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,6125 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 2 + 10 = 12 Ω

R₄ ∥ 12 = 8,571 Ω

R₃ + 8,571 = 11,57 Ω

R₂ ∥ 11,57 = 6,532 Ω

R_eq = R₁ + 6,532 = 2 + 6,532 = 8,532 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/8,532 = 1,406 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 1,406·2 = 9,187 V

I_R2 = V_A/R₂ = 9,187/15 = 0,6125 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,6125 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,3573 A

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa

τ = L/R = 47 mH / 20 Ω = 2,35 ms

Zanik prądu

i(t) = 3·e^−5/2,35 = 0,3573 A

Odpowiedź

i = 0,3573 A

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 109,4 ms

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 3 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 1 kΩ · 68 µF = 68 ms

v_C(t) = 15 + (3 − 15)·e^−t/τ

Wyznacz czas

12,6 = 15 + (−12)·e^−t/τ → e^−t/τ = (12,6 − 15)/(3 − 15) = 0,2

t = τ·ln((3 − 15)/(12,6 − 15)) = 68·ln(5) = 109,4 ms

Odpowiedź

t = 109,4 ms

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: I = 40 mA

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Zmiana strumienia na zwój

ΔΦ = (0,9 − 0,1)·0,005 = 0,004 Wb

Średnia SEM

ε = NΔΦ/Δt = 50·0,004/0,25 = 0,8 V

Prąd

I = ε/R = 0,8/20 = 0,04 A

Odpowiedź

I = 40 mA

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 0,18 V

Indukcyjność wzajemna

M = 0,9·√(20·5) = 9 mH

Indukowana SEM

ε = M·di/dt = 0,009·20 = 0,18 V

Odpowiedź

ε = 0,18 V

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: L = 5,389 mH

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Warunek rezonansu

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(6283²·4,7·10⁻⁶) = 5,389 mH

Odpowiedź

L = 5,389 mH

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: |Z| = 63,98 Ω

Reaktancja

X_C = 1/(2π·200·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω

Połączenie równoległe

Pomnóż licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną, aby rozdzielić Z_p na część rzeczywistą i urojoną.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 31,93 − j16,05 Ω

Impedancja całkowita

Z = 30 + 31,93 − j16,05 = 61,93 − j16,05 Ω

|Z| = √(61,93² + 16,05²) = 63,98 Ω

Odpowiedź

|Z| = 63,98 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism