Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba
F = k·|q1q2|/r²
Pole ładunku punktowego
E = k·|q|/r²
Stała
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek
F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo
Req = R1 + R2 + …
Rezystory połączone równolegle
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dwa równolegle
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Prawo Ohma
V = I·R
Moc
P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

  1. Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
  2. Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
  4. Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa
τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym
rozwarcie; vC nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym
zwarcie; iL nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony
t ≈ 5τ

Metoda

  1. Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
  2. Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
  3. Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
  4. Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód
B = μ0I/(2πr)
Środek płaskiej cewki
B = μ0NI/(2R)
Długi solenoid
B = μ0nI, n = N/L
Stała
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód
F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek
F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Strumień
Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya
ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Indukcyjność
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selektor prędkości i spektrometr
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

  1. Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
  2. Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
  3. Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
  4. Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsacja
ω = 2πf
Moduł i kąt
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów
V = I·Z

Metoda

  1. Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
  2. Wyznacz każdą reaktancję: XL = ωL i XC = 1/(ωC).
  3. Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
  4. Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni
−−1 µC++5 µC++8 µC12 cm + 18 cm

Trzy ładunki punktowe leżą na prostej: −1 µC po lewej, +8 µC po prawej w odległości 30 cm i +5 µC między nimi, 12 cm od lewego ładunku. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na środkowy ładunek. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

qL = −1 µCqR = +8 µCqM = +5 µCrL = 12 cmrR = 18 cm
F = N
2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny
+ + + + + +− − − − − −e⁻3 × 10⁷ m/s10 cmE = 3500 N/C

Elektron wpada w jednorodne pole między dwiema równoległymi płytami, poruszając się równolegle do nich z prędkością 3 × 10⁷ m/s. Płyty mają długość 10 cm, a natężenie pola między nimi wynosi 3500 N/C. Ładunek elektronu 1,602 × 10⁻¹⁹ C, masa 9,109 × 10⁻³¹ kg; pomiń grawitację. O ile y zostanie odchylony w bok w chwili opuszczenia płyt? Podaj wynik w mm.

v₀ = 3 × 10⁷ m/sL = 10 cmE = 3500 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9,109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni
R1​ = 10 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​15 ΩIR2​AR4​15 ΩB

Wyznacz prąd IR2 płynący przez R2.

V1 = 24 VR1 = 10 ΩR2 = 15 ΩR3 = 3 ΩR4 = 15 Ω
IR2 = A
4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny
R1​ = 30 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​10 VR2​3 ΩIR2​AR4​6 ΩBR6​25 Ω

Wyznacz prąd IR2 płynący przez R2.

V1 = 10 VR1 = 30 ΩR2 = 3 ΩR3 = 6 ΩR4 = 6 ΩR5 = 25 ΩR6 = 25 Ω
IR2 = A
5.Stany nieustalone RC i RLŚredni
+−Vs​12 Vt = 0R = 33 ΩL47 mHi(t)

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz napięcie vL na cewce w chwili t = 1 ms.

Vs = 12 VR = 33 ΩL = 47 mHt = 1 ms
vL = V
6.Stany nieustalone RC i RLTrudny
+−Vs​6 Vt = 0R = 2,2 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 4 V

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 4 V o zaznaczonej biegunowości. Po jakim czasie vC osiągnie 5,6 V? Wyznacz t.

Vs = 6 VR = 2,2 kΩC = 100 µFvC(0) = 4 V
t = ms
7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni
+v = 2 × 10⁵ m/sr = 2,089 cmB = ?

Proton wpada z prędkością 2 × 10⁵ m/s prostopadle w jednorodne pole magnetyczne i porusza się po okręgu o promieniu 2,089 cm. Znajdź indukcję magnetyczną B.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 2 × 10⁵ m/sr = 2,089 cm
B = T
8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny
Bn = 600 rpm20 cm × 5 cmN = 50B = 0,05 T

Cewka o 50 zwojach, 20 cm × 5 cm, obraca się z prędkością 600 obr/min w jednorodnym polu 0,05 T wokół osi prostopadłej do pola. Znajdź szczytową SEM E0.

N = 50A = 20 cm × 5 cmB = 0,05 Tn = 600 rpm
E0 = V
9.Impedancja i wskazy ACŚredni
100 V200 HzR = 20 ΩL = 100 mHC = 10 µFI

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 100 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz współczynnik mocy cos φ obwodu.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 100 mHC = 10 µF
cos φ =
10.Impedancja i wskazy ACTrudny
24 V500 HzR1​ = 20 ΩR2​ = 40 ΩC = 4,7 µF

Rezystor R1 jest połączony szeregowo z równoległym połączeniem R2 i kondensatora C i podłączony do zasilania 24 V (skuteczne), 500 Hz. Wyznacz moduł impedancji |Z|.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR1 = 20 ΩR2 = 40 ΩC = 4,7 µF
|Z| = Ω

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 14,22 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Siła od każdego ładunku

Zwrot w prawo jest dodatni.

FL = −k·1·5 × 10⁻¹²/0,12² = −3,122 N
FR = −k·8·5 × 10⁻¹²/0,18² = −11,1 N

Siła wypadkowa

F = −3,122 + (−11,1) = −14,22 N → |F| = 14,22 N

Odpowiedź

F = 14,22 N

Siła wypadkowa jest skierowana w lewo.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: y = 3,42 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Czas przelotu między płytami

t = L/v₀ = 0,1/3 × 10⁷ = 3,333 × 10⁻⁹ s

Przyspieszenie poprzeczne

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·3500/9,109 × 10⁻³¹ = 6,155 × 10¹⁴ m/s²

Ugięcie

y = ½·a·t² = ½·6,155 × 10¹⁴·(3,333 × 10⁻⁹)² = 0,00342 m = 3,42 mm

Odpowiedź

y = 3,42 mm

Elektron jest odpychany w stronę płyty dodatniej, przeciwnie do kierunku pola.

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: IR2 = 0,72 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 10 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​15 ΩAR4​15 ΩB

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R3 + R4 = 3 + 15 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 15·18/(15+18) = 8,182 Ω
Req = R1 + 8,182 = 10 + 8,182 = 18,18 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

IR1 = V1/Req = 24/18,18 = 1,32 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 1,32·10 = 10,8 V
IR2 = VA/R2 = 10,8/15 = 0,72 A

Odpowiedź

IR2 = 0,72 A
4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: IR2 = 0,2444 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 30 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​10 VR2​3 ΩAR4​6 ΩBR6​25 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R5 + R6 = 25 + 25 = 50 Ω
R4 ∥ 50 = 5,357 Ω
R3 + 5,357 = 11,36 Ω
R2 ∥ 11,36 = 2,373 Ω
Req = R1 + 2,373 = 30 + 2,373 = 32,37 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

IR1 = V1/Req = 10/32,37 = 0,3089 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 0,3089·30 = 0,7331 V
IR2 = VA/R2 = 0,7331/3 = 0,2444 A

Odpowiedź

IR2 = 0,2444 A
5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: vL = 5,946 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 47 mH / 33 Ω = 1,424 ms
i(∞) = Vs/R = 12/33 = 0,3636 A

Napięcie na cewce

W t = 0 całe napięcie zasilania jest na cewce; potem maleje do zera.

vL(t) = Vs·e−t/τ = 12·e−1/1,424 = 5,946 V

Odpowiedź

vL = 5,946 V
6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 354,1 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 2,2 kΩ · 100 µF = 220 ms
vC(t) = 6 + (4 − 6)·e−t/τ

Wyznacz czas

5,6 = 6 + (−2)·e−t/τ → e−t/τ = (5,6 − 6)/(4 − 6) = 0,2
t = τ·ln((4 − 6)/(5,6 − 6)) = 220·ln(5) = 354,1 ms

Odpowiedź

t = 354,1 ms
7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: B = 0,09998 T

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Pole z promienia

B = mv/(|q|r) = 1,673 × 10⁻²⁷·2 × 10⁵/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,02089) = 0,09998 T

Odpowiedź

B = 0,09998 T
8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: E0 = 1,571 V

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Prędkość kątowa i pole

ω = 2π·600/60 = 62,83 rad/s
A = 0,01 m²

Szczytowa SEM

E₀ = NBAω = 50·0,05·0,01·62,83 = 1,571 V

Odpowiedź

E0 = 1,571 V
9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: cos φ = 0,3981

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

XL = 125,7 Ω, XC = 79,58 Ω

Impedancja

|Z| = √(20² + (46,09)²) = 50,24 Ω

Współczynnik mocy

cos φ = R/|Z| = 20/50,24 = 0,3981
Obwód jest indukcyjny, więc współczynnik mocy ma charakter indukcyjny.

Odpowiedź

cos φ = 0,3981
10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: |Z| = 52,65 Ω

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancja

XC = 1/(2π·500·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Połączenie równoległe

Pomnóż licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną, aby rozdzielić Zp na część rzeczywistą i urojoną.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 29,66 − j17,51 Ω

Impedancja całkowita

Z = 20 + 29,66 − j17,51 = 49,66 − j17,51 Ω
|Z| = √(49,66² + 17,51²) = 52,65 Ω

Odpowiedź

|Z| = 52,65 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism