Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba
F = k·|q1q2|/r²
Pole ładunku punktowego
E = k·|q|/r²
Stała
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek
F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo
Req = R1 + R2 + …
Rezystory połączone równolegle
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dwa równolegle
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Prawo Ohma
V = I·R
Moc
P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

  1. Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
  2. Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
  4. Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa
τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym
rozwarcie; vC nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym
zwarcie; iL nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony
t ≈ 5τ

Metoda

  1. Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
  2. Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
  3. Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
  4. Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód
B = μ0I/(2πr)
Środek płaskiej cewki
B = μ0NI/(2R)
Długi solenoid
B = μ0nI, n = N/L
Stała
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód
F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek
F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Strumień
Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya
ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Indukcyjność
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selektor prędkości i spektrometr
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

  1. Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
  2. Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
  3. Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
  4. Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsacja
ω = 2πf
Moduł i kąt
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów
V = I·Z

Metoda

  1. Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
  2. Wyznacz każdą reaktancję: XL = ωL i XC = 1/(ωC).
  3. Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
  4. Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni
++2 µC−−6 µCP10 cm

Ładunek +2 µC i ładunek −6 µC znajdują się w odległości 10 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 4 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q1 = +2 µCq2 = −6 µCr1 = 4 cmr2 = 6 cm
E = N/C
2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny
+−P2 × 10 cm6 cm+2 µC−2 µC

Ładunki +2 µC i −2 µC są oddalone o 20 cm. Punkt P leży 6 cm od środka odcinka między nimi, na symetralnej. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +2 µCq2 = −2 µCd = 20 cmh = 6 cm
E = N/C
3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni
R1​ = 6 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​6 ΩIR2​AR4​3 ΩB

Wyznacz prąd IR2 płynący przez R2.

V1 = 30 VR1 = 6 ΩR2 = 6 ΩR3 = 2 ΩR4 = 3 Ω
IR2 = A
4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny
R1​ = 30 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​10 VR2​5 ΩIR2​AR4​10 ΩBR6​3 Ω

Wyznacz prąd IR2 płynący przez R2.

V1 = 10 VR1 = 30 ΩR2 = 5 ΩR3 = 30 ΩR4 = 10 ΩR5 = 25 ΩR6 = 3 Ω
IR2 = A
5.Stany nieustalone RC i RLŚredni
+−Vs​15 Vt = 0R = 50 ΩL68 mHi(t)

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Po jakim czasie od zamknięcia łącznika prąd osiągnie 50% wartości końcowej? Wyznacz t.

Vs = 15 VR = 50 ΩL = 68 mH
t = ms
6.Stany nieustalone RC i RLTrudny
+−Vs​10 Vt = 0R = 6,8 kΩC33 µF+−vC​vC​(0) = 2 V

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 2 V o zaznaczonej biegunowości. Po jakim czasie vC osiągnie 6,8 V? Wyznacz t.

Vs = 10 VR = 6,8 kΩC = 33 µFvC(0) = 2 V
t = ms
7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni
30 A2 Ad = 6 cm

Dwa długie równoległe przewody w odległości 6 cm przewodzą prądy 30 A i 2 A w tym samym kierunku. Znajdź siłę na metr długości F/L między nimi.

I1 = 30 AI2 = 2 Ad = 6 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
F/L = µN/m
8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny
Bn = ?15 cm × 15 cmN = 200B = 0,4 T

Cewka o 200 zwojach, 15 cm × 15 cm, obraca się w jednorodnym polu 0,4 T wokół osi prostopadłej do pola. Z jaką prędkością n (w obrotach na minutę) musi się obracać, aby dać skuteczną SEM 159,9 V?

N = 200A = 15 cm × 15 cmB = 0,4 TErms = 159,9 V
n = rpm
9.Impedancja i wskazy ACŚredni
230 V60 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 47 µFI

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 230 V (skuteczne), 60 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 47 µF
I = A
10.Impedancja i wskazy ACTrudny
VfR = 20 ΩL = 200 mHC = 0,47 µF

Szeregowy obwód RLC ma R = 20 Ω, L = 200 mH i C = 0,47 µF. Wyznacz jego pasmo przenoszenia B (szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy) w Hz.

R = 20 ΩL = 200 mHC = 0,47 µF
B = Hz

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 2,622 × 10⁷ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E1 = k·2 × 10⁻⁶/0,04² = 1,124 × 10⁷ N/C
E2 = k·6 × 10⁻⁶/0,06² = 1,498 × 10⁷ N/C

Zwroty i suma

Pierwsze pole jest skierowane od ładunku dodatniego, a drugie do ładunku ujemnego: oba mają ten sam zwrot.

E = |1,124 × 10⁷ + 1,498 × 10⁷| = 2,622 × 10⁷ N/C

Odpowiedź

E = 2,622 × 10⁷ N/C
2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 2,267 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Odległość i pole jednego ładunku

r = √(10² + 6²) = 11,66 cm
E1 = k·2 × 10⁻⁶/0,1166² = 1,322 × 10⁶ N/C

Składowe

Składowe wzdłuż symetralnej się znoszą.

E = 2·E1·(a/r) = 2·1,322 × 10⁶·0,8575 = 2,267 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 2,267 × 10⁶ N/C

Pole jest równoległe do prostej łączącej ładunki, skierowane od ładunku dodatniego do ujemnego.

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: IR2 = 1,562 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 6 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​6 ΩAR4​3 ΩB

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R3 + R4 = 2 + 3 = 5 Ω
R2 ∥ 5 = 6·5/(6+5) = 2,727 Ω
Req = R1 + 2,727 = 6 + 2,727 = 8,727 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

IR1 = V1/Req = 30/8,727 = 3,438 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 3,438·6 = 9,375 V
IR2 = VA/R2 = 9,375/6 = 1,562 A

Odpowiedź

IR2 = 1,562 A
4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: IR2 = 0,2563 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 30 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​10 VR2​5 ΩAR4​10 ΩBR6​3 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R5 + R6 = 25 + 3 = 28 Ω
R4 ∥ 28 = 7,368 Ω
R3 + 7,368 = 37,37 Ω
R2 ∥ 37,37 = 4,41 Ω
Req = R1 + 4,41 = 30 + 4,41 = 34,41 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

IR1 = V1/Req = 10/34,41 = 0,2906 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 0,2906·30 = 1,282 V
IR2 = VA/R2 = 1,282/5 = 0,2563 A

Odpowiedź

IR2 = 0,2563 A
5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 0,9427 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 68 mH / 50 Ω = 1,36 ms
i(∞) = Vs/R = 15/50 = 0,3 A

Wyznacz czas

0,5 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,5)
t = −1,36·ln(0,5) = 0,9427 ms

Odpowiedź

t = 0,9427 ms
6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 205,6 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

vC(0) = 2 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 6,8 kΩ · 33 µF = 224,4 ms
vC(t) = 10 + (2 − 10)·e−t/τ

Wyznacz czas

6,8 = 10 + (−8)·e−t/τ → e−t/τ = (6,8 − 10)/(2 − 10) = 0,4
t = τ·ln((2 − 10)/(6,8 − 10)) = 224,4·ln(2,5) = 205,6 ms

Odpowiedź

t = 205,6 ms
7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: F/L = 200 µN/m

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Siła na metr

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·30·2/0,06 = 200 µN/m

Odpowiedź

F/L = 200 µN/m

Prądy w tym samym kierunku przyciągają się.

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: n = 1200 rpm

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Szczytowa SEM

E₀ = √2·Erms = 226,1 V

Prędkość kątowa

ω = E₀/(NBA) = 226,1/(200·0,4·0,0225) = 125,6 rad/s

Obroty na minutę

n = 60·125,6/(2π) = 1200 rpm

Odpowiedź

n = 1200 rpm
9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 5,913 A

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,05 = 18,85 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(10² + (−37,59)²) = 38,9 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 230/38,9 = 5,913 A

Odpowiedź

I = 5,913 A
10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: B = 15,92 Hz

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Częstotliwość rezonansowa

f0 = 1/(2π·√(0,2·0,47·10⁻⁶)) = 519,1 Hz

Dobroć

Q porównuje reaktancję w rezonansie z rezystancją: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0,2/(0,47·10⁻⁶)) = 32,62

Pasmo przenoszenia

B = f0/Q = 519,1/32,62 = 15,92 Hz

Odpowiedź

B = 15,92 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism