Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunki +4 µC i +3 µC są oddalone o 10 cm. W jakiej odległości x od ładunku +4 µC, na odcinku między nimi, natężenie pola elektrycznego jest równe zeru?

q₁ = +4 µCq₂ = +3 µCd = 10 cm

x = cm

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Elektron wpada w jednorodne pole między dwiema równoległymi płytami, poruszając się równolegle do nich z prędkością 4 × 10⁷ m/s. Płyty mają długość 8 cm, a natężenie pola między nimi wynosi 2600 N/C. Ładunek elektronu 1,602 × 10⁻¹⁹ C, masa 9,109 × 10⁻³¹ kg; pomiń grawitację. O ile y zostanie odchylony w bok w chwili opuszczenia płyt? Podaj wynik w mm.

v₀ = 4 × 10⁷ m/sL = 8 cmE = 2600 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 12 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 36 VR₁ = 5 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 20 Ω

I_R2 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz energię W zgromadzoną w cewce w chwili t = 5 ms, w mJ.

V_s = 6 VR = 33 ΩL = 100 mHt = 5 ms

W = mJ

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

W t = 0 układ czasowy zaczyna ładować nienaładowany kondensator przez rezystor ze źródła 9 V. Ma zadziałać, gdy napięcie kondensatora osiągnie 4,5 V, dokładnie 20 ms po starcie. Przy R = 47 kΩ wyznacz potrzebną pojemność C.

V_s = 9 VV_th = 4,5 VT = 20 msR = 47 kΩ

C = µF

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Metalowy pręt o długości 50 cm przesuwa się z prędkością 5 m/s po dwóch szynach w jednorodnym polu 0,25 T skierowanym w głąb kartki. Znajdź indukowaną SEM ε między jego końcami.

B = 0,25 TL = 50 cmv = 5 m/s

ε = mV

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Prąd w cewce o indukcyjności 200 mH zmienia się równomiernie od 1,5 A do 1 A w czasie 10 ms. Znajdź wartość samoindukowanej SEM ε.

L = 200 mH1,5 A → 1 AΔt = 10 ms

ε = V

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 60 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 10 µF

φ = °

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 230 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz częstotliwość rezonansową f₀ obwodu.

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 100 µF

f₀ = Hz

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: x = 5,359 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Równe pola

4/x² = 3/(10 − x)²

(10 − x)/x = √(3/4) = 0,866

Położenie

x = 10/(1 + 0,866) = 5,359 cm

Odpowiedź

x = 5,359 cm

Punkt zerowy leży zawsze bliżej mniejszego ładunku.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: y = 0,9145 mm

Czas przelotu między płytami

t = L/v₀ = 0,08/4 × 10⁷ = 2 × 10⁻⁹ s

Przyspieszenie poprzeczne

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·2600/9,109 × 10⁻³¹ = 4,573 × 10¹⁴ m/s²

Ugięcie

y = ½·a·t² = ½·4,573 × 10¹⁴·(2 × 10⁻⁹)² = 0,0009145 m = 0,9145 mm

Odpowiedź

y = 0,9145 mm

Elektron jest odpychany w stronę płyty dodatniej, przeciwnie do kierunku pola.

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 13,71 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 2 + 10 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 2·12/(2+12) = 1,714 Ω

R_eq = R₁ + 1,714 = 12 + 1,714 = 13,71 Ω

Odpowiedź

R_eq = 13,71 Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 2,839 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 12 + 20 = 32 Ω

R₄ ∥ 32 = 4,324 Ω

R₃ + 4,324 = 9,324 Ω

R₂ ∥ 9,324 = 3,255 Ω

R_eq = R₁ + 3,255 = 5 + 3,255 = 8,255 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/8,255 = 4,361 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 4,361·5 = 14,19 V

I_R2 = V_A/R₂ = 14,19/5 = 2,839 A

Odpowiedź

I_R2 = 2,839 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: W = 1,079 mJ

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 100 mH / 33 Ω = 3,03 ms

i(∞) = V_s/R = 6/33 = 0,1818 A

Prąd w danej chwili

i(t) = 0,1818·(1 − e^−5/3,03) = 0,1469 A

Zgromadzona energia

W = ½·L·i² = ½·100·0,1469² = 1,079 mJ

Odpowiedź

W = 1,079 mJ

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: C = 0,6139 µF

Wymagana stała czasowa

4,5 = 9·(1 − e^−20/τ) → τ = 20/ln(9/(9 − 4,5))

τ = 20/0,6931 = 28,85 ms

Pojemność

kΩ razy µF daje milisekundy.

C = τ/R = 28,85/47 = 0,6139 µF

Odpowiedź

C = 0,6139 µF

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 625 mV

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

SEM indukowana ruchem

ε = BLv = 0,25·0,5·5 = 0,625 V

Odpowiedź

ε = 625 mV

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 10 V

SEM samoindukcji

SEM przeciwdziała zmianie prądu (Lenz), więc jej znak jest przeciwny do ΔI; wartość to L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,2·0,5/0,01 = 10 V

Odpowiedź

ε = 10 V

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = −75,25 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,2 = 75,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−189,9)²) = 196,3 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−189,9/50) = −75,25°

Odpowiedź

φ = −75,25°

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: f₀ = 35,59 Hz

Rezonans

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC). Częstotliwość zasilania nie ma znaczenia.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,2·100·10⁻⁶)) = 35,59 Hz

Odpowiedź

f₀ = 35,59 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism