Prawo Coulomba i pola elektryczne
- Prawo Coulomba
- F = k·|q1q2|/r²
- Pole ładunku punktowego
- E = k·|q|/r²
- Stała
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Siła działająca na ładunek
- F = q·E
Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Rezystory szeregowo i równolegle
- Rezystory połączone szeregowo
- Req = R1 + R2 + …
- Rezystory połączone równolegle
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Dwa równolegle
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Prawo Ohma
- V = I·R
- Moc
- P = V·I = I²R = V²/R
Metoda
- Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
- Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
- Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.
Stany nieustalone RC i RL
- Stała czasowa
- τ = RC | τ = L/R
- Odpowiedź układu
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Kondensator przy prądzie stałym
- rozwarcie; vC nie może zmienić się skokowo
- Cewka przy prądzie stałym
- zwarcie; iL nie może zmienić się skokowo
- Stan ustalony
- t ≈ 5τ
Metoda
- Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
- Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
- Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
- Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Pola magnetyczne i indukcja
- Długi prosty przewód
- B = μ0I/(2πr)
- Środek płaskiej cewki
- B = μ0NI/(2R)
- Długi solenoid
- B = μ0nI, n = N/L
- Stała
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Siła na przewód
- F = BIL·sin θ
- Siła działająca na ładunek
- F = |q|vB·sin θ
- Ruch po okręgu
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Równoległe przewody
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Strumień
- Φ = BA·cos θ
- Prawo Faradaya
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Poruszający się pręt
- ε = BLv
- Generator
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Indukcyjność
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Indukcyjność wzajemna
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Selektor prędkości i spektrometr
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Metoda
- Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
- Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
- Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
- Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.
Impedancja i wskazy AC
- Impedancje
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Pulsacja
- ω = 2πf
- Moduł i kąt
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Prawo Ohma dla wskazów
- V = I·Z
Metoda
- Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
- Wyznacz każdą reaktancję: XL = ωL i XC = 1/(ωC).
- Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
- Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.
2Zadania do ćwiczenia
1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni
Dwie identyczne małe metalowe kulki mają ładunki +10 µC i −8 µC. Zetknięto je, a następnie ustawiono z powrotem w odległości 25 cm. Wyznacz wartość siły F, z jaką teraz na siebie działają. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +10 µCq2 = −8 µCr = 25 cm
F = N
2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny
Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 8 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 3 µC leży 8 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 8 µC leży 4 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.
q1 = 3 µCq2 = 8 µCq3 = 8 µCr13 = 8 cmr23 = 4 cm
F = N
3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni
Wyznacz prąd IR1 dostarczany przez źródło, płynący przez R1.
V1 = 24 VR1 = 2 ΩR2 = 10 ΩR3 = 2 ΩR4 = 2 Ω
IR1 = A
4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny
Wyznacz prąd IR1 dostarczany przez źródło, płynący przez R1.
V1 = 5 VR1 = 5 ΩR2 = 25 ΩR3 = 2 ΩR4 = 10 ΩR5 = 30 ΩR6 = 12 Ω
IR1 = A
5.Stany nieustalone RC i RLŚredni
Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz energię W(∞) zgromadzoną w cewce po ustaleniu się stanu obwodu, w mJ.
Vs = 6 VR = 15 ΩL = 220 mH
W(∞) = mJ
6.Stany nieustalone RC i RLTrudny
Łącznik był długo zamknięty, więc obwód jest w stanie ustalonym. W t = 0 łącznik się otwiera. Wyznacz napięcie na kondensatorze vC w chwili t = 40 ms.
Vs = 12 VR1 = 10 kΩR2 = 4,7 kΩC = 10 µFt = 40 ms
vC = V
7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni
Cewka o 10 zwojach ma pole powierzchni 50 cm². Jednorodne pole prostopadłe do cewki rośnie równomiernie od 0 T do 0,8 T w czasie 40 ms. Znajdź średnią indukowaną SEM ε.
N = 10A = 50 cm²B: 0 T → 0,8 TΔt = 40 ms
ε = V
8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny
Długi solenoid powietrzny ma 200 zwojów, długość 40 cm i średnicę 3 cm. Znajdź jego samoindukcję L.
N = 200l = 40 cm⌀ = 3 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = µH
9.Impedancja i wskazy ACŚredni
Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 24 V (skuteczne), 50 Hz. Wyznacz współczynnik mocy cos φ obwodu.
V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 250 mHC = 10 µF
cos φ =
10.Impedancja i wskazy ACTrudny
Szeregowy obwód RLC jest zasilany ze źródła 10 V (skuteczne), którego częstotliwość ustawiono na częstotliwość rezonansową obwodu. Wyznacz wartość skuteczną napięcia VL na cewce.
V = 10 V (rms)R = 50 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF
VL = V
3Roztwory
1.Prawo Coulomba i pola elektryczne
Odpowiedź: F = 0,1438 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Ładunek po zetknięciu
q′ = (10 + −8)/2 = 1 µC
Nowa siła
F = 8,99 × 10⁹·(1 × 10⁻⁶)²/0,25² = 0,1438 N
Odpowiedź
F = 0,1438 N
Obie kulki mają teraz ładunek tego samego znaku, więc się odpychają.
2.Prawo Coulomba i pola elektryczne
Odpowiedź: F = 361,2 N
Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.
Każda siła działająca na q₃
F1 = k·3·8 × 10⁻¹²/0,08² = 33,71 N
F2 = k·8·8 × 10⁻¹²/0,04² = 359,6 N
Suma wektorowa
F = √(33,71² + 359,6²) = 361,2 N
Odpowiedź
F = 361,2 N
3.Rezystory szeregowo i równolegle
Odpowiedź: IR1 = 4,941 A
Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.
Łącz rezystory od najdalszego końca
Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.
R3 + R4 = 2 + 2 = 4 Ω
R2 ∥ 4 = 10·4/(10+4) = 2,857 Ω
Req = R1 + 2,857 = 2 + 2,857 = 4,857 Ω
Prąd ze źródła
Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.
IR1 = V1/Req = 24/4,857 = 4,941 A
Odpowiedź
IR1 = 4,941 A
4.Rezystory szeregowo i równolegle
Odpowiedź: IR1 = 0,4104 A
Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.
Łącz rezystory od najdalszego końca
Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.
R5 + R6 = 30 + 12 = 42 Ω
R4 ∥ 42 = 8,077 Ω
R3 + 8,077 = 10,08 Ω
R2 ∥ 10,08 = 7,182 Ω
Req = R1 + 7,182 = 5 + 7,182 = 12,18 Ω
Prąd ze źródła
Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.
IR1 = V1/Req = 5/12,18 = 0,4104 A
Odpowiedź
IR1 = 0,4104 A
5.Stany nieustalone RC i RL
Odpowiedź: W(∞) = 17,6 mJ
Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.
Stała czasowa i prąd końcowy
Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.
τ = L/R = 220 mH / 15 Ω = 14,67 ms
i(∞) = Vs/R = 6/15 = 0,4 A
Zgromadzona energia
W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·220·0,4² = 17,6 mJ
Odpowiedź
W(∞) = 17,6 mJ
6.Stany nieustalone RC i RL
Odpowiedź: vC = 1,638 V
Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.
Początkowe napięcie kondensatora
W stanie ustalonym kondensator jest rozwarciem, więc R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia. Napięcie kondensatora nie może zmienić się skokowo przy otwarciu łącznika.
vC(0) = 12·4,7/(10 + 4,7) = 3,837 V
Stała czasowa po otwarciu łącznika
τ = R2·C = 4,7·10 = 47 ms
Rozładowanie
vC(t) = 3,837·e−40/47 = 1,638 V
Odpowiedź
vC = 1,638 V
7.Pola magnetyczne i indukcja
Odpowiedź: ε = 1 V
Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).
Zmiana strumienia na zwój
ΔΦ = (0,8 − 0)·0,005 = 0,004 Wb
Średnia SEM
ε = NΔΦ/Δt = 10·0,004/0,04 = 1 V
Odpowiedź
ε = 1 V
8.Pola magnetyczne i indukcja
Odpowiedź: L = 88,83 µH
Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).
Przekrój poprzeczny
A = π·(0,015)² = 0,0007069 m²
Samoindukcja
L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·200²·0,0007069/0,4 = 8,883 × 10⁻⁵ H = 88,83 µH
Odpowiedź
L = 88,83 µH
9.Impedancja i wskazy AC
Odpowiedź: cos φ = 0,3165
Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.
Reaktancje
XL = 78,54 Ω, XC = 318,3 Ω
Impedancja
|Z| = √(80² + (−239,8)²) = 252,8 Ω
Współczynnik mocy
cos φ = R/|Z| = 80/252,8 = 0,3165
Obwód jest pojemnościowy, więc współczynnik mocy ma charakter pojemnościowy.
Odpowiedź
cos φ = 0,3165
10.Impedancja i wskazy AC
Odpowiedź: VL = 20,63 V
Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.
Rezonans
W rezonansie reaktancje się znoszą, więc impedancja jest równa samemu R.
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,05·4,7·10⁻⁶) = 2063 rad/s
I = V/R = 10/50 = 0,2 A
Napięcie na cewce
XL = ω₀L = 2063·0,05 = 103,1 Ω
VL = I·XL = 0,2·103,1 = 20,63 V
Odpowiedź
VL = 20,63 V
To Q = 2,063 razy napięcie zasilania.
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism