Energoelektronika i napędy: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Przetwornice DC-DC

Obniżająca
Vo = D·Vin
Podwyższająca
Vo = Vin/(1 − D)
Odwracająca
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Idealny bilans mocy
VinIin = VoIo
Tętnienia prądu cewki
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Średni prąd cewki
obniżająca Io; podwyższająca i odwracająca Io/(1 − D)
Tętnienia wyjścia
obniżająca ΔIL/(8fC); podwyższająca i odwracająca Io·D/(fC)
Granica pracy z prądem ciągłym
obniżająca (1 − D)R/(2f); podwyższająca D(1 − D)²R/(2f); odwracająca (1 − D)²R/(2f)

Metoda

  1. Rozpoznaj przetwornicę (obniżającą, podwyższającą lub odwracającą) i wyznacz współczynnik wypełnienia D z przekładni napięciowej.
  2. Użyj bilansu woltosekundowego na cewce: średnie napięcie na cewce w ciągu okresu jest równe zero.
  3. Wyznacz napięcie na cewce przy załączonym kluczu, a potem ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Dla tętnień wyjścia wyznacz ładunek wpływający do kondensatora i z niego wypływający; dla granicy pracy z prądem ciągłym przyrównaj średni prąd cewki do ΔIL/2.

Silniki prądu stałego

Obwód twornika
V = E + IaRa
Siła przeciwelektromotoryczna i moment
E = k·ω, T = k·Ia
Prędkość
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Prędkość biegu jałowego i moment utyku
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Moce
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Rozruch
Istart = V/(Ra + Rst)
Zmienność prędkości
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maksymalna moc wytworzona
Pmax = V²/(4Ra)
Napęd z przerywaczem
Va = D·Vdc

Metoda

  1. Narysuj obwód twornika: napięcie zasilania V, rezystancja Ra i siła przeciwelektromotoryczna E połączone szeregowo.
  2. Użyj V = E + Ia·Ra, aby powiązać napięcie, prąd i siłę przeciwelektromotoryczną.
  3. Użyj E = k·ω dla prędkości i T = k·Ia dla momentu, z ω = 2π·n/60.
  4. Dla mocy i sprawności zacznij od V·Ia, odejmij straty w miedzi Ia²·Ra, a potem straty mechaniczne.

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna
P = V·I·cos φ
Moc bierna
Q = V·I·sin φ
Moc pozorna
S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy
pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Połączenie w trójkąt (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Całkowita moc czynna
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Moc pozorna i bierna
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze
Δ: VL Y: VL/√3
Moc pobierana przez silnik
Pin = Pout/η

2Zadania do ćwiczenia

1.Przetwornice DC-DCŚredni
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

Idealna przetwornica obniżająca zamienia 48 V na 33,6 V przy 20 kHz i L = 220 µH. Wyznacz międzyszczytowe tętnienia prądu cewki ΔIL.

Vin​ = 48 VVo​ = 33,6 Vf = 20 kHzL = 220 µH
ΔIL = A
2.Przetwornice DC-DCTrudny
+−9 VSLC = 220 µFR = 20 Ω−+−6 V

Idealna przetwornica odwracająca zamienia 9 V na −6 V przy obciążeniu 20 Ω i 40 kHz. Kondensator wyjściowy ma 220 µF. Wyznacz międzyszczytowe tętnienia napięcia wyjściowego ΔVo w mV.

Vin​ = 9 VVo​ = −6 Vf = 40 kHzC = 220 µFR = 20 Ω
ΔVo = mV
3.Silniki prądu stałegoŚredni
T (N·m)n (rpm)1,2 N·mn0​nFL​

Silnik prądu stałego (k = 0,15 V·s/rad, Ra = 0,5 Ω) jest zasilany napięciem 48 V. Przy pełnym obciążeniu pobiera 8 A. Pomijając prąd biegu jałowego, wyznacz jego zmienność prędkości SR = (n₀ − nFL)/nFL w procentach.

V = 48 Vk = 0,15 V·s/radRa = 0,5 ΩIFL = 8 A
SR = %
4.Silniki prądu stałegoTrudny
+−240 VRa​ = 0,25 ΩM+−En = ?T = 36 N·m

Silnik obcowzbudny (k = 1,2 V·s/rad przy pełnym polu, Ra = 0,25 Ω, V = 240 V) napędza obciążenie o stałym momencie 36 N·m. Strumień wzbudzenia zmniejszono do 90 % wartości pełnej. Wyznacz nową prędkość n.

V = 240 Vk = 1,2 V·s/radRa = 0,25 ΩT = 36 N·mΦ = 90 %
n = rpm
5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni
120 VZ7 + j24 ΩI

Odbiornik o impedancji Z = 7 + j24 Ω jest podłączony do jednofazowego zasilania 120 V (skuteczne). Wyznacz pobieraną przez niego moc bierną Q.

V = 120 VZ = 7 + j24 Ω
Q = var
6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny
P = 35 kWQ1​S1​φ1​QC​

Odbiornik jednofazowy pobiera 35 kW przy współczynniku mocy 0,8 (indukcyjnym) z zasilania 400 V, 60 Hz. Kondensator dołączony równolegle podnosi współczynnik mocy do 0,92. Wyznacz moc bierną QC, którą musi dostarczyć kondensator.

P = 35 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,92V = 400 Vf = 60 Hz
QC = kvar
7.Moc w układach trójfazowychŚredni
ABCVL​ = 480 VZ = 3 + j4 Ωna fazę

Symetryczny odbiornik połączony w trójkąt o impedancji 3 + j4 Ω na fazę jest przyłączony do symetrycznej sieci trójfazowej o napięciu przewodowym 480 V. Wyznacz całkowitą moc czynną P pobieraną przez odbiornik w kW.

VL = 480 VZ = 3 + j4 Ω na fazę
P = kW
8.Moc w układach trójfazowychTrudny
P = 250 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 250 kW przy współczynniku mocy 0,75 (indukcyjnym) z sieci 400 V (napięcie przewodowe), 50 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,95 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Wyznacz całkowitą moc bierną QC, którą musi dostarczyć bateria kondensatorów, w kvar.

P = 250 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,95VL = 400 Vf = 50 Hz
QC = kvar

3Roztwory

1.Przetwornice DC-DC

Odpowiedź: ΔIL = 2,291 A

Przetwornice DC-DC: klucz S jest załączony przez ułamek D każdego okresu T = 1/f. W stanie ustalonym średnie napięcie na cewce jest równe zero (bilans woltosekundowy), co daje idealne przekładnie napięciowe przy prądzie ciągłym: przetwornica obniżająca Vo = D·Vin, podwyższająca Vo = Vin/(1 − D), odwracająca |Vo| = Vin·D/(1 − D). Idealna przetwornica zachowuje moc: Vin·Iin = Vo·Io. Gdy klucz S jest załączony, prąd cewki rośnie o ΔIL = VL·D·T/L, gdzie VL = Vin − Vo w przetwornicy obniżającej oraz Vin w podwyższającej i odwracającej. Tętnienia napięcia wyjściowego wynoszą ΔVo = ΔIL/(8fC) w przetwornicy obniżającej oraz Io·D/(fC) w podwyższającej i odwracającej. Prąd cewki tylko dotyka zera (granica pracy z prądem ciągłym), gdy średni prąd cewki jest równy ΔIL/2.

Współczynnik wypełnienia

D = 33,6/48 = 0,7

Napięcie na cewce w czasie załączenia

Gdy klucz S jest załączony, cewka leży między Vin a Vo.

VL = 48 − 33,6 = 14,4 V

Tętnienia prądu

ΔIL = VL·D/(L·f) = 14,4·0,7/(220·10⁻⁶·20·10³) = 2,291 A

Odpowiedź

ΔIL = 2,291 A
2.Przetwornice DC-DC

Odpowiedź: ΔVo = 13,64 mV

Przetwornice DC-DC: klucz S jest załączony przez ułamek D każdego okresu T = 1/f. W stanie ustalonym średnie napięcie na cewce jest równe zero (bilans woltosekundowy), co daje idealne przekładnie napięciowe przy prądzie ciągłym: przetwornica obniżająca Vo = D·Vin, podwyższająca Vo = Vin/(1 − D), odwracająca |Vo| = Vin·D/(1 − D). Idealna przetwornica zachowuje moc: Vin·Iin = Vo·Io. Gdy klucz S jest załączony, prąd cewki rośnie o ΔIL = VL·D·T/L, gdzie VL = Vin − Vo w przetwornicy obniżającej oraz Vin w podwyższającej i odwracającej. Tętnienia napięcia wyjściowego wynoszą ΔVo = ΔIL/(8fC) w przetwornicy obniżającej oraz Io·D/(fC) w podwyższającej i odwracającej. Prąd cewki tylko dotyka zera (granica pracy z prądem ciągłym), gdy średni prąd cewki jest równy ΔIL/2.

Współczynnik wypełnienia

D = 6/(9 + 6) = 0,4

Prąd obciążenia

Io = 6/20 = 0,3 A

Tętnienia wyjścia

ΔVo = 0,3·0,4/(40·10³·220·10⁻⁶) = 13,64 mV

Odpowiedź

ΔVo = 13,64 mV
3.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: SR = 9,091 %

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja Ra połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + Ia·Ra. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·Ia, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·Ia = T·ω; moc wejściowa to V·Ia, a różnicę stanowią straty w miedzi Ia²Ra oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − Ra·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/Ra. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/Ra jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Prędkość na biegu jałowym i przy pełnym obciążeniu

n₀ = 60·48/(2π·0,15) = 3056 rpm
nFL = 60·(48 − 8·0,5)/(2π·0,15) = 2801 rpm

Zmienność prędkości

SR = (3056 − 2801)/2801·100 = 9,091 %

Odpowiedź

SR = 9,091 %
4.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: n = 2048 rpm

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja Ra połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + Ia·Ra. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·Ia, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·Ia = T·ω; moc wejściowa to V·Ia, a różnicę stanowią straty w miedzi Ia²Ra oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − Ra·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/Ra. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/Ra jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Stała silnika przy osłabionym polu

k₂ = 0,9·1,2 = 1,08 V·s/rad

Nowy prąd twornika

Ia = 36/1,08 = 33,33 A

Nowa prędkość

ω = (240 − 33,33·0,25)/1,08 = 214,5 rad/s → n = 2048 rpm

Odpowiedź

n = 2048 rpm

Osłabianie pola pozwala napędowi prądu stałego pracować powyżej prędkości podstawowej.

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: Q = 553 var

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Prąd

|Z| = √(7² + 24²) = 25 Ω
I = V/|Z| = 120/25 = 4,8 A

Moc bierna

Q = I²·X = 4,8²·24 = 553 var

Odpowiedź

Q = 553 var
6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: QC = 11,34 kvar

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Moc bierna przed i po

Moc czynna P się nie zmienia; zmienia się tylko moc bierna pobierana z sieci.

Q1 = P·tan φ1 = 35·tan(36,87°) = 26,25 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 35·tan(23,07°) = 14,91 kvar
QC = Q1 − Q2 = 11,34 kvar

Odpowiedź

QC = 11,34 kvar
7.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: P = 82,94 kW

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Napięcie fazowe

Vph = VL = 480 V

Prąd fazowy

|Z| = √(3² + 4²) = 5 Ω
Iph = 480/5 = 96 A

Całkowita moc czynna

Moc czynną pobiera tylko rezystancyjna część każdej impedancji.

P = 3·Iph²·R = 3·96²·3 = 82,94 kW

Odpowiedź

P = 82,94 kW

Sprawdzenie: cos φ = R/|Z| = 0,6, a √3·VL·IL·cos φ daje tę samą moc.

8.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: QC = 138,3 kvar

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza QC/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: VL w baterii połączonej w trójkąt, VL/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q1 = 250·tan(acos 0,75) = 250·0,8819 = 220,5 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0,95) = 250·0,3287 = 82,17 kvar

Moc bierna z kondensatorów

QC = Q1 − Q2 = 138,3 kvar

Odpowiedź

QC = 138,3 kvar

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-electronics