Energoelektronika i napędy: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Przetwornice DC-DC

Obniżająca
Vo = D·Vin
Podwyższająca
Vo = Vin/(1 − D)
Odwracająca
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Idealny bilans mocy
VinIin = VoIo
Tętnienia prądu cewki
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Średni prąd cewki
obniżająca Io; podwyższająca i odwracająca Io/(1 − D)
Tętnienia wyjścia
obniżająca ΔIL/(8fC); podwyższająca i odwracająca Io·D/(fC)
Granica pracy z prądem ciągłym
obniżająca (1 − D)R/(2f); podwyższająca D(1 − D)²R/(2f); odwracająca (1 − D)²R/(2f)

Metoda

  1. Rozpoznaj przetwornicę (obniżającą, podwyższającą lub odwracającą) i wyznacz współczynnik wypełnienia D z przekładni napięciowej.
  2. Użyj bilansu woltosekundowego na cewce: średnie napięcie na cewce w ciągu okresu jest równe zero.
  3. Wyznacz napięcie na cewce przy załączonym kluczu, a potem ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Dla tętnień wyjścia wyznacz ładunek wpływający do kondensatora i z niego wypływający; dla granicy pracy z prądem ciągłym przyrównaj średni prąd cewki do ΔIL/2.

Silniki prądu stałego

Obwód twornika
V = E + IaRa
Siła przeciwelektromotoryczna i moment
E = k·ω, T = k·Ia
Prędkość
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Prędkość biegu jałowego i moment utyku
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Moce
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Rozruch
Istart = V/(Ra + Rst)
Zmienność prędkości
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maksymalna moc wytworzona
Pmax = V²/(4Ra)
Napęd z przerywaczem
Va = D·Vdc

Metoda

  1. Narysuj obwód twornika: napięcie zasilania V, rezystancja Ra i siła przeciwelektromotoryczna E połączone szeregowo.
  2. Użyj V = E + Ia·Ra, aby powiązać napięcie, prąd i siłę przeciwelektromotoryczną.
  3. Użyj E = k·ω dla prędkości i T = k·Ia dla momentu, z ω = 2π·n/60.
  4. Dla mocy i sprawności zacznij od V·Ia, odejmij straty w miedzi Ia²·Ra, a potem straty mechaniczne.

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna
P = V·I·cos φ
Moc bierna
Q = V·I·sin φ
Moc pozorna
S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy
pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Połączenie w trójkąt (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Całkowita moc czynna
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Moc pozorna i bierna
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze
Δ: VL Y: VL/√3
Moc pobierana przez silnik
Pin = Pout/η

2Zadania do ćwiczenia

1.Przetwornice DC-DCŚredni
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

Idealna przetwornica podwyższająca zamienia 12 V na 30 V przy 250 kHz i L = 150 µH. Wyznacz międzyszczytowe tętnienia prądu cewki ΔIL.

Vin​ = 12 VVo​ = 30 Vf = 250 kHzL = 150 µH
ΔIL = A
2.Przetwornice DC-DCTrudny
tiL​Imax​IL​DTT2T

Idealna przetwornica odwracająca zamienia 36 V na −12 V przy obciążeniu 25 Ω i 200 kHz. Wyznacz najmniejszą indukcyjność Lcrit zapewniającą pracę z prądem ciągłym.

Vin​ = 36 VVo​ = −12 Vf = 200 kHzR = 25 Ω
Lcrit = µH
3.Silniki prądu stałegoŚredni
T (N·m)n (rpm)n0​ = ?

Silnik prądu stałego o k = 1,5 V·s/rad jest zasilany napięciem 120 V. Pomijając wszystkie straty na biegu jałowym, wyznacz jego prędkość biegu jałowego n0 w obr/min.

V = 120 Vk = 1,5 V·s/rad
n0 = rpm
4.Silniki prądu stałegoTrudny
+−240 VRs​ = ?Ra​ = 0,4 ΩM+−En = 800 rpmT = 45 N·m

Silnik prądu stałego (k = 1,5 V·s/rad, Ra = 0,4 Ω) zasilany stałym napięciem 240 V napędza obciążenie 45 N·m. Wyznacz rezystancję szeregową Rs, która zwalnia go do 800 obr/min.

V = 240 Vk = 1,5 V·s/radRa = 0,4 ΩT = 45 N·mn = 800 rpm
Rs = Ω
5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni
P = 37 kWQ = ?Sφ

Silnik jednofazowy pobiera 37 kW przy współczynniku mocy 0,6 (indukcyjnym) z zasilania 230 V. Wyznacz moc bierną Q, którą pobiera.

P = 37 kWpf = 0,6V = 230 V
Q = kvar
6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny
230 V60 Hzobciążenie5 kW, 0,75C68 µFI

Odbiornik jednofazowy pobiera 5 kW przy współczynniku mocy 0,75 (indukcyjnym) z zasilania 230 V, 60 Hz. Równolegle do odbiornika podłączono kondensator 68 µF. Wyznacz nowy współczynnik mocy cos φ widziany przez zasilanie.

P = 5 kWpf1 = 0,75V = 230 Vf = 60 HzC = 68 µF
cos φ =
7.Moc w układach trójfazowychŚredni
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?M37 kW, η = 90%cos φ = 0,84

Trójfazowy silnik indukcyjny oddaje przy pełnym obciążeniu 37 kW mocy mechanicznej. Przy tym obciążeniu jego sprawność wynosi 90%, a współczynnik mocy 0,84 (indukcyjny). Napięcie przewodowe sieci wynosi 400 V. Wyznacz prąd przewodowy IL.

Pout = 37 kWη = 90%cos φ = 0,84VL = 400 V
IL = A
8.Moc w układach trójfazowychTrudny
P = 100 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 100 kW przy współczynniku mocy 0,7 (indukcyjnym) z sieci 690 V (napięcie przewodowe), 50 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,95 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Wyznacz całkowitą moc bierną QC, którą musi dostarczyć bateria kondensatorów, w kvar.

P = 100 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,95VL = 690 Vf = 50 Hz
QC = kvar

3Roztwory

1.Przetwornice DC-DC

Odpowiedź: ΔIL = 0,192 A

Przetwornice DC-DC: klucz S jest załączony przez ułamek D każdego okresu T = 1/f. W stanie ustalonym średnie napięcie na cewce jest równe zero (bilans woltosekundowy), co daje idealne przekładnie napięciowe przy prądzie ciągłym: przetwornica obniżająca Vo = D·Vin, podwyższająca Vo = Vin/(1 − D), odwracająca |Vo| = Vin·D/(1 − D). Idealna przetwornica zachowuje moc: Vin·Iin = Vo·Io. Gdy klucz S jest załączony, prąd cewki rośnie o ΔIL = VL·D·T/L, gdzie VL = Vin − Vo w przetwornicy obniżającej oraz Vin w podwyższającej i odwracającej. Tętnienia napięcia wyjściowego wynoszą ΔVo = ΔIL/(8fC) w przetwornicy obniżającej oraz Io·D/(fC) w podwyższającej i odwracającej. Prąd cewki tylko dotyka zera (granica pracy z prądem ciągłym), gdy średni prąd cewki jest równy ΔIL/2.

Współczynnik wypełnienia

D = 1 − 12/30 = 0,6

Napięcie na cewce w czasie załączenia

Gdy klucz S jest załączony, cewka leży bezpośrednio na napięciu Vin.

VL = 12 V

Tętnienia prądu

ΔIL = VL·D/(L·f) = 12·0,6/(150·10⁻⁶·250·10³) = 0,192 A

Odpowiedź

ΔIL = 0,192 A
2.Przetwornice DC-DC

Odpowiedź: Lcrit = 35,16 µH

Przetwornice DC-DC: klucz S jest załączony przez ułamek D każdego okresu T = 1/f. W stanie ustalonym średnie napięcie na cewce jest równe zero (bilans woltosekundowy), co daje idealne przekładnie napięciowe przy prądzie ciągłym: przetwornica obniżająca Vo = D·Vin, podwyższająca Vo = Vin/(1 − D), odwracająca |Vo| = Vin·D/(1 − D). Idealna przetwornica zachowuje moc: Vin·Iin = Vo·Io. Gdy klucz S jest załączony, prąd cewki rośnie o ΔIL = VL·D·T/L, gdzie VL = Vin − Vo w przetwornicy obniżającej oraz Vin w podwyższającej i odwracającej. Tętnienia napięcia wyjściowego wynoszą ΔVo = ΔIL/(8fC) w przetwornicy obniżającej oraz Io·D/(fC) w podwyższającej i odwracającej. Prąd cewki tylko dotyka zera (granica pracy z prądem ciągłym), gdy średni prąd cewki jest równy ΔIL/2.

Współczynnik wypełnienia

D = 12/(36 + 12) = 0,25

Warunek graniczny

Przyrównaj średni prąd cewki do połowy tętnień prądu i rozwiąż względem L.

Lcrit = (1 − D)²·R/(2f)

Indukcyjność krytyczna

Lcrit = (1 − 0,25)²·25/(2200·10³) = 35,16 µH

Odpowiedź

Lcrit = 35,16 µH
3.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: n0 = 763,9 rpm

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja Ra połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + Ia·Ra. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·Ia, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·Ia = T·ω; moc wejściowa to V·Ia, a różnicę stanowią straty w miedzi Ia²Ra oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − Ra·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/Ra. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/Ra jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Prędkość biegu jałowego

ω₀ = V/k = 120/1,5 = 80 rad/s
n0 = 60·80/(2π) = 763,9 rpm

Odpowiedź

n0 = 763,9 rpm
4.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: Rs = 3,411 Ω

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja Ra połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + Ia·Ra. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·Ia, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·Ia = T·ω; moc wejściowa to V·Ia, a różnicę stanowią straty w miedzi Ia²Ra oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − Ra·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/Ra. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/Ra jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Prąd i siła przeciwelektromotoryczna

Ia = 45/1,5 = 30 A
E = 1,5·83,78 = 125,7 V

Rezystancja szeregowa

Ra + Rs = (240 − 125,7)/30 = 3,811 Ω
Rs = 3,411 Ω

Odpowiedź

Rs = 3,411 Ω

Rezystor wydziela 3070 W strat; przerywacz reguluje prędkość ze znacznie mniejszymi stratami.

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: Q = 49,33 kvar

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Kąt

φ = arccos(0,6) = 53,13°, tan φ = 1,333

Moc bierna

Q = P·tan φ = 37·1,333 = 49,33 kvar

Odpowiedź

Q = 49,33 kvar
6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: cos φ = 0,8534

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Moc bierna przed i po

Moc czynna P się nie zmienia; zmienia się tylko moc bierna pobierana z sieci.

Q1 = 5·tan(arccos 0,75) = 4,41 kvar
QC = V²·2πf·C = 230²·2π·60·68·10⁻⁶ = 1356 var = 1,356 kvar
Q2 = 4,41 − 1,356 = 3,053 kvar

Nowa moc pozorna

S2 = √(5² + 3,053²) = 5,859 kVA

Nowy współczynnik mocy

cos φ = P/S2 = 5/5,859 = 0,8534

Odpowiedź

cos φ = 0,8534
7.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: IL = 70,64 A

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Elektryczna moc wejściowa

Pin = Pout/η = 37/0,9 = 41,11 kW

Prąd linii

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 41111/(√3·400·0,84) = 70,64 A

Odpowiedź

IL = 70,64 A
8.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: QC = 69,15 kvar

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza QC/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: VL w baterii połączonej w trójkąt, VL/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q1 = 100·tan(acos 0,7) = 100·1,02 = 102 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0,95) = 100·0,3287 = 32,87 kvar

Moc bierna z kondensatorów

QC = Q1 − Q2 = 69,15 kvar

Odpowiedź

QC = 69,15 kvar

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-electronics