Energoelektronika i napędy: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Przetwornice DC-DC

Obniżająca
Vo = D·Vin
Podwyższająca
Vo = Vin/(1 − D)
Odwracająca
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Idealny bilans mocy
VinIin = VoIo
Tętnienia prądu cewki
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Średni prąd cewki
obniżająca Io; podwyższająca i odwracająca Io/(1 − D)
Tętnienia wyjścia
obniżająca ΔIL/(8fC); podwyższająca i odwracająca Io·D/(fC)
Granica pracy z prądem ciągłym
obniżająca (1 − D)R/(2f); podwyższająca D(1 − D)²R/(2f); odwracająca (1 − D)²R/(2f)

Metoda

  1. Rozpoznaj przetwornicę (obniżającą, podwyższającą lub odwracającą) i wyznacz współczynnik wypełnienia D z przekładni napięciowej.
  2. Użyj bilansu woltosekundowego na cewce: średnie napięcie na cewce w ciągu okresu jest równe zero.
  3. Wyznacz napięcie na cewce przy załączonym kluczu, a potem ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Dla tętnień wyjścia wyznacz ładunek wpływający do kondensatora i z niego wypływający; dla granicy pracy z prądem ciągłym przyrównaj średni prąd cewki do ΔIL/2.

Silniki prądu stałego

Obwód twornika
V = E + IaRa
Siła przeciwelektromotoryczna i moment
E = k·ω, T = k·Ia
Prędkość
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Prędkość biegu jałowego i moment utyku
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Moce
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Rozruch
Istart = V/(Ra + Rst)
Zmienność prędkości
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maksymalna moc wytworzona
Pmax = V²/(4Ra)
Napęd z przerywaczem
Va = D·Vdc

Metoda

  1. Narysuj obwód twornika: napięcie zasilania V, rezystancja Ra i siła przeciwelektromotoryczna E połączone szeregowo.
  2. Użyj V = E + Ia·Ra, aby powiązać napięcie, prąd i siłę przeciwelektromotoryczną.
  3. Użyj E = k·ω dla prędkości i T = k·Ia dla momentu, z ω = 2π·n/60.
  4. Dla mocy i sprawności zacznij od V·Ia, odejmij straty w miedzi Ia²·Ra, a potem straty mechaniczne.

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna
P = V·I·cos φ
Moc bierna
Q = V·I·sin φ
Moc pozorna
S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy
pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Połączenie w trójkąt (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Całkowita moc czynna
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Moc pozorna i bierna
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze
Δ: VL Y: VL/√3
Moc pobierana przez silnik
Pin = Pout/η

2Zadania do ćwiczenia

1.Przetwornice DC-DCŚredni
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

Idealna przetwornica odwracająca zamienia 48 V na −16 V przy 100 kHz i L = 47 µH. Wyznacz międzyszczytowe tętnienia prądu cewki ΔIL.

Vin​ = 48 VVo​ = −16 Vf = 100 kHzL = 47 µH
ΔIL = A
2.Przetwornice DC-DCTrudny
tvo​Vo​ΔV = ?DTT2T

Przetwornica obniżająca zamienia 36 V na 10,8 V przy obciążeniu 2 Ω i 40 kHz, z L = 68 µH i C = 220 µF. Wyznacz międzyszczytowe tętnienia napięcia wyjściowego ΔVo w mV.

Vin​ = 36 VVo​ = 10,8 Vf = 40 kHzL = 68 µHC = 220 µF
ΔVo = mV
3.Silniki prądu stałegoŚredni
T (N·m)n (rpm)1 N·mn0​nFL​

Silnik prądu stałego (k = 0,2 V·s/rad, Ra = 0,25 Ω) jest zasilany napięciem 24 V. Przy pełnym obciążeniu pobiera 5 A. Pomijając prąd biegu jałowego, wyznacz jego zmienność prędkości SR = (n₀ − nFL)/nFL w procentach.

V = 24 Vk = 0,2 V·s/radRa = 0,25 ΩIFL = 5 A
SR = %
4.Silniki prądu stałegoTrudny
+−48 VRs​ = ?Ra​ = 0,2 ΩM+−En = 400 rpmT = 2,5 N·m

Silnik prądu stałego (k = 0,25 V·s/rad, Ra = 0,2 Ω) zasilany stałym napięciem 48 V napędza obciążenie 2,5 N·m. Wyznacz rezystancję szeregową Rs, która zwalnia go do 400 obr/min.

V = 48 Vk = 0,25 V·s/radRa = 0,2 ΩT = 2,5 N·mn = 400 rpm
Rs = Ω
5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni
240 VZ3 + j4 ΩI

Odbiornik o impedancji Z = 3 + j4 Ω jest podłączony do jednofazowego zasilania 240 V (skuteczne). Wyznacz pobieraną przez niego moc czynną P.

V = 240 VZ = 3 + j4 Ω
P = W
6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny
P = 45 kWQ1​S1​φ1​QC​

Odbiornik jednofazowy pobiera 45 kW przy współczynniku mocy 0,8 (indukcyjnym) z zasilania 240 V, 50 Hz. Kondensator dołączony równolegle podnosi współczynnik mocy do 0,92. Wyznacz moc bierną QC, którą musi dostarczyć kondensator.

P = 45 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,92V = 240 Vf = 50 Hz
QC = kvar
7.Moc w układach trójfazowychŚredni
ABCVL​ = 690 VIL​ = ?M18,5 kW, η = 92%cos φ = 0,88

Trójfazowy silnik indukcyjny oddaje przy pełnym obciążeniu 18,5 kW mocy mechanicznej. Przy tym obciążeniu jego sprawność wynosi 92%, a współczynnik mocy 0,88 (indukcyjny). Napięcie przewodowe sieci wynosi 690 V. Wyznacz prąd przewodowy IL.

Pout = 18,5 kWη = 92%cos φ = 0,88VL = 690 V
IL = A
8.Moc w układach trójfazowychTrudny
P = 100 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 100 kW przy współczynniku mocy 0,72 (indukcyjnym) z sieci 480 V (napięcie przewodowe), 50 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,92 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Wyznacz całkowitą moc bierną QC, którą musi dostarczyć bateria kondensatorów, w kvar.

P = 100 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,92VL = 480 Vf = 50 Hz
QC = kvar

3Roztwory

1.Przetwornice DC-DC

Odpowiedź: ΔIL = 2,553 A

Przetwornice DC-DC: klucz S jest załączony przez ułamek D każdego okresu T = 1/f. W stanie ustalonym średnie napięcie na cewce jest równe zero (bilans woltosekundowy), co daje idealne przekładnie napięciowe przy prądzie ciągłym: przetwornica obniżająca Vo = D·Vin, podwyższająca Vo = Vin/(1 − D), odwracająca |Vo| = Vin·D/(1 − D). Idealna przetwornica zachowuje moc: Vin·Iin = Vo·Io. Gdy klucz S jest załączony, prąd cewki rośnie o ΔIL = VL·D·T/L, gdzie VL = Vin − Vo w przetwornicy obniżającej oraz Vin w podwyższającej i odwracającej. Tętnienia napięcia wyjściowego wynoszą ΔVo = ΔIL/(8fC) w przetwornicy obniżającej oraz Io·D/(fC) w podwyższającej i odwracającej. Prąd cewki tylko dotyka zera (granica pracy z prądem ciągłym), gdy średni prąd cewki jest równy ΔIL/2.

Współczynnik wypełnienia

D = 16/(48 + 16) = 0,25

Napięcie na cewce w czasie załączenia

Gdy klucz S jest załączony, cewka leży bezpośrednio na napięciu Vin.

VL = 48 V

Tętnienia prądu

ΔIL = VL·D/(L·f) = 48·0,25/(47·10⁻⁶·100·10³) = 2,553 A

Odpowiedź

ΔIL = 2,553 A
2.Przetwornice DC-DC

Odpowiedź: ΔVo = 39,48 mV

Przetwornice DC-DC: klucz S jest załączony przez ułamek D każdego okresu T = 1/f. W stanie ustalonym średnie napięcie na cewce jest równe zero (bilans woltosekundowy), co daje idealne przekładnie napięciowe przy prądzie ciągłym: przetwornica obniżająca Vo = D·Vin, podwyższająca Vo = Vin/(1 − D), odwracająca |Vo| = Vin·D/(1 − D). Idealna przetwornica zachowuje moc: Vin·Iin = Vo·Io. Gdy klucz S jest załączony, prąd cewki rośnie o ΔIL = VL·D·T/L, gdzie VL = Vin − Vo w przetwornicy obniżającej oraz Vin w podwyższającej i odwracającej. Tętnienia napięcia wyjściowego wynoszą ΔVo = ΔIL/(8fC) w przetwornicy obniżającej oraz Io·D/(fC) w podwyższającej i odwracającej. Prąd cewki tylko dotyka zera (granica pracy z prądem ciągłym), gdy średni prąd cewki jest równy ΔIL/2.

Współczynnik wypełnienia

D = 10,8/36 = 0,3

Tętnienia prądu cewki

ΔIL = (36 − 10,8)·0,3/(68·10⁻⁶·40·10³) = 2,779 A

Tętnienia wyjścia

ΔVo = 2,779/(8·40·10³·220·10⁻⁶) = 39,48 mV

Odpowiedź

ΔVo = 39,48 mV
3.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: SR = 5,495 %

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja Ra połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + Ia·Ra. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·Ia, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·Ia = T·ω; moc wejściowa to V·Ia, a różnicę stanowią straty w miedzi Ia²Ra oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − Ra·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/Ra. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/Ra jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Prędkość na biegu jałowym i przy pełnym obciążeniu

n₀ = 60·24/(2π·0,2) = 1146 rpm
nFL = 60·(24 − 5·0,25)/(2π·0,2) = 1086 rpm

Zmienność prędkości

SR = (1146 − 1086)/1086·100 = 5,495 %

Odpowiedź

SR = 5,495 %
4.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: Rs = 3,553 Ω

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja Ra połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + Ia·Ra. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·Ia, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·Ia = T·ω; moc wejściowa to V·Ia, a różnicę stanowią straty w miedzi Ia²Ra oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − Ra·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/Ra. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/Ra jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Prąd i siła przeciwelektromotoryczna

Ia = 2,5/0,25 = 10 A
E = 0,25·41,89 = 10,47 V

Rezystancja szeregowa

Ra + Rs = (48 − 10,47)/10 = 3,753 Ω
Rs = 3,553 Ω

Odpowiedź

Rs = 3,553 Ω

Rezystor wydziela 355,3 W strat; przerywacz reguluje prędkość ze znacznie mniejszymi stratami.

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: P = 6912 W

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Prąd

|Z| = √(3² + 4²) = 5 Ω
I = V/|Z| = 240/5 = 48 A

Moc czynna

P = I²·R = 48²·3 = 6912 W

Odpowiedź

P = 6912 W
6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: QC = 14,58 kvar

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Moc bierna przed i po

Moc czynna P się nie zmienia; zmienia się tylko moc bierna pobierana z sieci.

Q1 = P·tan φ1 = 45·tan(36,87°) = 33,75 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 45·tan(23,07°) = 19,17 kvar
QC = Q1 − Q2 = 14,58 kvar

Odpowiedź

QC = 14,58 kvar
7.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: IL = 19,12 A

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Elektryczna moc wejściowa

Pin = Pout/η = 18,5/0,92 = 20,11 kW

Prąd linii

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 20109/(√3·690·0,88) = 19,12 A

Odpowiedź

IL = 19,12 A
8.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: QC = 53,79 kvar

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza QC/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: VL w baterii połączonej w trójkąt, VL/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q1 = 100·tan(acos 0,72) = 100·0,9639 = 96,39 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0,92) = 100·0,426 = 42,6 kvar

Moc bierna z kondensatorów

QC = Q1 − Q2 = 53,79 kvar

Odpowiedź

QC = 53,79 kvar

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-electronics