Energoelektronika i napędy: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Przetwornice DC-DC

Obniżająca
Vo = D·Vin
Podwyższająca
Vo = Vin/(1 − D)
Odwracająca
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Idealny bilans mocy
VinIin = VoIo
Tętnienia prądu cewki
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Średni prąd cewki
obniżająca Io; podwyższająca i odwracająca Io/(1 − D)
Tętnienia wyjścia
obniżająca ΔIL/(8fC); podwyższająca i odwracająca Io·D/(fC)
Granica pracy z prądem ciągłym
obniżająca (1 − D)R/(2f); podwyższająca D(1 − D)²R/(2f); odwracająca (1 − D)²R/(2f)

Metoda

  1. Rozpoznaj przetwornicę (obniżającą, podwyższającą lub odwracającą) i wyznacz współczynnik wypełnienia D z przekładni napięciowej.
  2. Użyj bilansu woltosekundowego na cewce: średnie napięcie na cewce w ciągu okresu jest równe zero.
  3. Wyznacz napięcie na cewce przy załączonym kluczu, a potem ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Dla tętnień wyjścia wyznacz ładunek wpływający do kondensatora i z niego wypływający; dla granicy pracy z prądem ciągłym przyrównaj średni prąd cewki do ΔIL/2.

Silniki prądu stałego

Obwód twornika
V = E + IaRa
Siła przeciwelektromotoryczna i moment
E = k·ω, T = k·Ia
Prędkość
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Prędkość biegu jałowego i moment utyku
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Moce
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Rozruch
Istart = V/(Ra + Rst)
Zmienność prędkości
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maksymalna moc wytworzona
Pmax = V²/(4Ra)
Napęd z przerywaczem
Va = D·Vdc

Metoda

  1. Narysuj obwód twornika: napięcie zasilania V, rezystancja Ra i siła przeciwelektromotoryczna E połączone szeregowo.
  2. Użyj V = E + Ia·Ra, aby powiązać napięcie, prąd i siłę przeciwelektromotoryczną.
  3. Użyj E = k·ω dla prędkości i T = k·Ia dla momentu, z ω = 2π·n/60.
  4. Dla mocy i sprawności zacznij od V·Ia, odejmij straty w miedzi Ia²·Ra, a potem straty mechaniczne.

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna
P = V·I·cos φ
Moc bierna
Q = V·I·sin φ
Moc pozorna
S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy
pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Połączenie w trójkąt (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Całkowita moc czynna
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Moc pozorna i bierna
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze
Δ: VL Y: VL/√3
Moc pobierana przez silnik
Pin = Pout/η

2Zadania do ćwiczenia

1.Przetwornice DC-DCŚredni
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

Idealna przetwornica podwyższająca zamienia 9 V na 15 V przy 250 kHz i L = 10 µH. Wyznacz międzyszczytowe tętnienia prądu cewki ΔIL.

Vin​ = 9 VVo​ = 15 Vf = 250 kHzL = 10 µH
ΔIL = A
2.Przetwornice DC-DCTrudny
+−15 VSL = 33 µHC = ?R+−10,5 V

Przetwornica obniżająca zamienia 15 V na 10,5 V przy 200 kHz i L = 33 µH. Wyznacz pojemność wyjściową C, przy której międzyszczytowe tętnienia napięcia wyjściowego wynoszą 10 mV.

Vin​ = 15 VVo​ = 10,5 Vf = 200 kHzL = 33 µHΔVo = 10 mV
C = µF
3.Silniki prądu stałegoŚredni
T (N·m)n (rpm)1 N·mn0​n = ?

Silnik prądu stałego (k = 0,2 N·m/A, Ra = 0,4 Ω) jest zasilany napięciem 24 V i napędza obciążenie o momencie 1 N·m. Wyznacz jego prędkość n w obr/min.

V = 24 Vk = 0,2 N·m/ARa = 0,4 ΩT = 1 N·m
n = rpm
4.Silniki prądu stałegoTrudny
+−240 VRs​ = ?Ra​ = 1,2 ΩM+−En = 800 rpmT = 6 N·m

Silnik prądu stałego (k = 0,75 V·s/rad, Ra = 1,2 Ω) zasilany stałym napięciem 240 V napędza obciążenie 6 N·m. Wyznacz rezystancję szeregową Rs, która zwalnia go do 800 obr/min.

V = 240 Vk = 0,75 V·s/radRa = 1,2 ΩT = 6 N·mn = 800 rpm
Rs = Ω
5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni
230 VR + jXP = 644 W4 A

Odbiornik indukcyjny pobiera 4 A i 644 W z jednofazowego zasilania 230 V (skuteczne). Zamodeluj go jako rezystancję R połączoną szeregowo z reaktancją X. Wyznacz X.

V = 230 VI = 4 AP = 644 W
X = Ω
6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny
400 V60 Hzobciążenie27 kW, 0,6C150 µFI = ?

Odbiornik jednofazowy pobiera 27 kW przy współczynniku mocy 0,6 (indukcyjnym) z zasilania 400 V, 60 Hz. Równolegle do odbiornika podłączono kondensator 150 µF. Wyznacz nowy prąd linii I.

P = 27 kWpf1 = 0,6V = 400 Vf = 60 HzC = 150 µF
I = A
7.Moc w układach trójfazowychŚredni
ABCVL​ = 415 VNZ = 20 + j15 Ωna fazę

Symetryczny odbiornik połączony w gwiazdę o impedancji 20 + j15 Ω na fazę jest przyłączony do symetrycznej sieci trójfazowej o napięciu przewodowym 415 V. Wyznacz całkowitą moc czynną P pobieraną przez odbiornik w kW.

VL = 415 VZ = 20 + j15 Ω na fazę
P = kW
8.Moc w układach trójfazowychTrudny
P = 75 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 75 kW przy współczynniku mocy 0,75 (indukcyjnym) z sieci 400 V (napięcie przewodowe), 50 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,92 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Wyznacz całkowitą moc bierną QC, którą musi dostarczyć bateria kondensatorów, w kvar.

P = 75 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,92VL = 400 Vf = 50 Hz
QC = kvar

3Roztwory

1.Przetwornice DC-DC

Odpowiedź: ΔIL = 1,44 A

Przetwornice DC-DC: klucz S jest załączony przez ułamek D każdego okresu T = 1/f. W stanie ustalonym średnie napięcie na cewce jest równe zero (bilans woltosekundowy), co daje idealne przekładnie napięciowe przy prądzie ciągłym: przetwornica obniżająca Vo = D·Vin, podwyższająca Vo = Vin/(1 − D), odwracająca |Vo| = Vin·D/(1 − D). Idealna przetwornica zachowuje moc: Vin·Iin = Vo·Io. Gdy klucz S jest załączony, prąd cewki rośnie o ΔIL = VL·D·T/L, gdzie VL = Vin − Vo w przetwornicy obniżającej oraz Vin w podwyższającej i odwracającej. Tętnienia napięcia wyjściowego wynoszą ΔVo = ΔIL/(8fC) w przetwornicy obniżającej oraz Io·D/(fC) w podwyższającej i odwracającej. Prąd cewki tylko dotyka zera (granica pracy z prądem ciągłym), gdy średni prąd cewki jest równy ΔIL/2.

Współczynnik wypełnienia

D = 1 − 9/15 = 0,4

Napięcie na cewce w czasie załączenia

Gdy klucz S jest załączony, cewka leży bezpośrednio na napięciu Vin.

VL = 9 V

Tętnienia prądu

ΔIL = VL·D/(L·f) = 9·0,4/(10·10⁻⁶·250·10³) = 1,44 A

Odpowiedź

ΔIL = 1,44 A
2.Przetwornice DC-DC

Odpowiedź: C = 29,83 µF

Przetwornice DC-DC: klucz S jest załączony przez ułamek D każdego okresu T = 1/f. W stanie ustalonym średnie napięcie na cewce jest równe zero (bilans woltosekundowy), co daje idealne przekładnie napięciowe przy prądzie ciągłym: przetwornica obniżająca Vo = D·Vin, podwyższająca Vo = Vin/(1 − D), odwracająca |Vo| = Vin·D/(1 − D). Idealna przetwornica zachowuje moc: Vin·Iin = Vo·Io. Gdy klucz S jest załączony, prąd cewki rośnie o ΔIL = VL·D·T/L, gdzie VL = Vin − Vo w przetwornicy obniżającej oraz Vin w podwyższającej i odwracającej. Tętnienia napięcia wyjściowego wynoszą ΔVo = ΔIL/(8fC) w przetwornicy obniżającej oraz Io·D/(fC) w podwyższającej i odwracającej. Prąd cewki tylko dotyka zera (granica pracy z prądem ciągłym), gdy średni prąd cewki jest równy ΔIL/2.

Współczynnik wypełnienia

D = 10,5/15 = 0,7

Tętnienia prądu cewki

ΔIL = (15 − 10,5)·0,7/(33·10⁻⁶·200·10³) = 0,4773 A

Pojemność

C = 0,4773/(8·200·10³·10·10⁻³) = 29,83 µF

Odpowiedź

C = 29,83 µF
3.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: n = 1050 rpm

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja Ra połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + Ia·Ra. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·Ia, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·Ia = T·ω; moc wejściowa to V·Ia, a różnicę stanowią straty w miedzi Ia²Ra oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − Ra·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/Ra. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/Ra jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Prąd twornika

Ia = T/k = 1/0,2 = 5 A

Siła przeciwelektromotoryczna i prędkość

E = 24 − 5·0,4 = 22 V
ω = E/k = 110 rad/s → n = 1050 rpm

Odpowiedź

n = 1050 rpm
4.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: Rs = 20,95 Ω

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja Ra połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + Ia·Ra. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·Ia, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·Ia = T·ω; moc wejściowa to V·Ia, a różnicę stanowią straty w miedzi Ia²Ra oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − Ra·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/Ra. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/Ra jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Prąd i siła przeciwelektromotoryczna

Ia = 6/0,75 = 8 A
E = 0,75·83,78 = 62,83 V

Rezystancja szeregowa

Ra + Rs = (240 − 62,83)/8 = 22,15 Ω
Rs = 20,95 Ω

Odpowiedź

Rs = 20,95 Ω

Rezystor wydziela 1341 W strat; przerywacz reguluje prędkość ze znacznie mniejszymi stratami.

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: X = 41,06 Ω

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Rezystancja z mocy czynnej

R = P/I² = 644/4² = 40,25 Ω

Reaktancja z impedancji

|Z| = V/I = 230/4 = 57,5 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(57,5² − 40,25²) = 41,06 Ω

Odpowiedź

X = 41,06 Ω
6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: I = 95,37 A

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Moc bierna przed i po

Moc czynna P się nie zmienia; zmienia się tylko moc bierna pobierana z sieci.

Q1 = 27·tan(arccos 0,6) = 36 kvar
QC = V²·2πf·C = 400²·2π·60·150·10⁻⁶ = 9048 var = 9,048 kvar
Q2 = 36 − 9,048 = 26,95 kvar

Nowa moc pozorna

S2 = √(27² + 26,95²) = 38,15 kVA

Nowy prąd linii

I = S2/V = 38150/400 = 95,37 A

Odpowiedź

I = 95,37 A
7.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: P = 5,511 kW

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Napięcie fazowe

Vph = 415/√3 = 239,6 V

Prąd fazowy

|Z| = √(20² + 15²) = 25 Ω
Iph = 239,6/25 = 9,584 A

Całkowita moc czynna

Moc czynną pobiera tylko rezystancyjna część każdej impedancji.

P = 3·Iph²·R = 3·9,584²·20 = 5,511 kW

Odpowiedź

P = 5,511 kW

Sprawdzenie: cos φ = R/|Z| = 0,8, a √3·VL·IL·cos φ daje tę samą moc.

8.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: QC = 34,19 kvar

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza QC/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: VL w baterii połączonej w trójkąt, VL/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q1 = 75·tan(acos 0,75) = 75·0,8819 = 66,14 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0,92) = 75·0,426 = 31,95 kvar

Moc bierna z kondensatorów

QC = Q1 − Q2 = 34,19 kvar

Odpowiedź

QC = 34,19 kvar

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-electronics