Energoelektronika i napędy: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Przetwornice DC-DC

Obniżająca
Vo = D·Vin
Podwyższająca
Vo = Vin/(1 − D)
Odwracająca
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Idealny bilans mocy
VinIin = VoIo
Tętnienia prądu cewki
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Średni prąd cewki
obniżająca Io; podwyższająca i odwracająca Io/(1 − D)
Tętnienia wyjścia
obniżająca ΔIL/(8fC); podwyższająca i odwracająca Io·D/(fC)
Granica pracy z prądem ciągłym
obniżająca (1 − D)R/(2f); podwyższająca D(1 − D)²R/(2f); odwracająca (1 − D)²R/(2f)

Metoda

  1. Rozpoznaj przetwornicę (obniżającą, podwyższającą lub odwracającą) i wyznacz współczynnik wypełnienia D z przekładni napięciowej.
  2. Użyj bilansu woltosekundowego na cewce: średnie napięcie na cewce w ciągu okresu jest równe zero.
  3. Wyznacz napięcie na cewce przy załączonym kluczu, a potem ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Dla tętnień wyjścia wyznacz ładunek wpływający do kondensatora i z niego wypływający; dla granicy pracy z prądem ciągłym przyrównaj średni prąd cewki do ΔIL/2.

Silniki prądu stałego

Obwód twornika
V = E + IaRa
Siła przeciwelektromotoryczna i moment
E = k·ω, T = k·Ia
Prędkość
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Prędkość biegu jałowego i moment utyku
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Moce
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Rozruch
Istart = V/(Ra + Rst)
Zmienność prędkości
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maksymalna moc wytworzona
Pmax = V²/(4Ra)
Napęd z przerywaczem
Va = D·Vdc

Metoda

  1. Narysuj obwód twornika: napięcie zasilania V, rezystancja Ra i siła przeciwelektromotoryczna E połączone szeregowo.
  2. Użyj V = E + Ia·Ra, aby powiązać napięcie, prąd i siłę przeciwelektromotoryczną.
  3. Użyj E = k·ω dla prędkości i T = k·Ia dla momentu, z ω = 2π·n/60.
  4. Dla mocy i sprawności zacznij od V·Ia, odejmij straty w miedzi Ia²·Ra, a potem straty mechaniczne.

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna
P = V·I·cos φ
Moc bierna
Q = V·I·sin φ
Moc pozorna
S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy
pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Połączenie w trójkąt (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Całkowita moc czynna
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Moc pozorna i bierna
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze
Δ: VL Y: VL/√3
Moc pobierana przez silnik
Pin = Pout/η

2Zadania do ćwiczenia

1.Przetwornice DC-DCŚredni
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

Idealna przetwornica obniżająca zamienia 12 V na 4,8 V przy 250 kHz i L = 220 µH. Wyznacz międzyszczytowe tętnienia prądu cewki ΔIL.

Vin​ = 12 VVo​ = 4,8 Vf = 250 kHzL = 220 µH
ΔIL = A
2.Przetwornice DC-DCTrudny
tiL​Imax​IL​DTT2T

Idealna przetwornica obniżająca zamienia 24 V na 16,8 V przy obciążeniu 10 Ω i 50 kHz. Wyznacz najmniejszą indukcyjność Lcrit zapewniającą pracę z prądem ciągłym.

Vin​ = 24 VVo​ = 16,8 Vf = 50 kHzR = 10 Ω
Lcrit = µH
3.Silniki prądu stałegoŚredni
T (N·m)n (rpm)4,8 N·mn0​n = ?

Silnik prądu stałego (k = 0,6 N·m/A, Ra = 1,5 Ω) jest zasilany napięciem 110 V i napędza obciążenie o momencie 4,8 N·m. Wyznacz jego prędkość n w obr/min.

V = 110 Vk = 0,6 N·m/ARa = 1,5 ΩT = 4,8 N·m
n = rpm
4.Silniki prądu stałegoTrudny
+−48 VRa​ = 1 ΩIa​: 6 → 1,5 AM+−En = ?T

Silnik obcowzbudny na 48 V (Ra = 1 Ω) pracuje z prędkością 900 obr/min przy prądzie twornika 6 A. Obciążenie się zmienia i prąd wynosi 1,5 A, przy niezmienionym polu. Wyznacz nową prędkość n2.

V = 48 VRa = 1 Ωn1 = 900 rpmIa1 = 6 AIa2 = 1,5 A
n2 = rpm
5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni
240 VR + jXP = 1920 W10 A

Odbiornik indukcyjny pobiera 10 A i 1920 W z jednofazowego zasilania 240 V (skuteczne). Zamodeluj go jako rezystancję R połączoną szeregowo z reaktancją X. Wyznacz R.

V = 240 VI = 10 AP = 1920 W
R = Ω
6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny
10 V60 HzRs​ = 4 ΩXs​ = j30 ΩZL​ = ?

Źródło 10 V (skuteczne), 60 Hz ma impedancję wewnętrzną Zs = 4 + j30 Ω. Impedancję obciążenia ZL można dobrać dowolnie. Obciążenie zapewniające maksymalną moc składa się z rezystora połączonego szeregowo z kondensatorem. Wyznacz pojemność C.

Vs = 10 V (rms)f = 60 HzZs = 4 + j30 Ω
C = µF
7.Moc w układach trójfazowychŚredni
ABCVL​ = 480 VNZ = 12 + j5 Ωna fazę

Symetryczny odbiornik połączony w gwiazdę o impedancji 12 + j5 Ω na fazę jest przyłączony do symetrycznej sieci trójfazowej o napięciu przewodowym 480 V. Wyznacz całkowitą moc czynną P pobieraną przez odbiornik w kW.

VL = 480 VZ = 12 + j5 Ω na fazę
P = kW
8.Moc w układach trójfazowychTrudny
P = 200 kWφ1​S1​Q2​QC​

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 200 kW przy współczynniku mocy 0,8 (indukcyjnym) z sieci 480 V (napięcie przewodowe), 50 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,98 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Kondensatory są połączone w trójkąt. Wyznacz pojemność Cph każdego kondensatora w µF.

P = 200 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,98VL = 480 Vf = 50 Hz
Cph = µF

3Roztwory

1.Przetwornice DC-DC

Odpowiedź: ΔIL = 0,05236 A

Przetwornice DC-DC: klucz S jest załączony przez ułamek D każdego okresu T = 1/f. W stanie ustalonym średnie napięcie na cewce jest równe zero (bilans woltosekundowy), co daje idealne przekładnie napięciowe przy prądzie ciągłym: przetwornica obniżająca Vo = D·Vin, podwyższająca Vo = Vin/(1 − D), odwracająca |Vo| = Vin·D/(1 − D). Idealna przetwornica zachowuje moc: Vin·Iin = Vo·Io. Gdy klucz S jest załączony, prąd cewki rośnie o ΔIL = VL·D·T/L, gdzie VL = Vin − Vo w przetwornicy obniżającej oraz Vin w podwyższającej i odwracającej. Tętnienia napięcia wyjściowego wynoszą ΔVo = ΔIL/(8fC) w przetwornicy obniżającej oraz Io·D/(fC) w podwyższającej i odwracającej. Prąd cewki tylko dotyka zera (granica pracy z prądem ciągłym), gdy średni prąd cewki jest równy ΔIL/2.

Współczynnik wypełnienia

D = 4,8/12 = 0,4

Napięcie na cewce w czasie załączenia

Gdy klucz S jest załączony, cewka leży między Vin a Vo.

VL = 12 − 4,8 = 7,2 V

Tętnienia prądu

ΔIL = VL·D/(L·f) = 7,2·0,4/(220·10⁻⁶·250·10³) = 0,05236 A

Odpowiedź

ΔIL = 0,05236 A
2.Przetwornice DC-DC

Odpowiedź: Lcrit = 30 µH

Przetwornice DC-DC: klucz S jest załączony przez ułamek D każdego okresu T = 1/f. W stanie ustalonym średnie napięcie na cewce jest równe zero (bilans woltosekundowy), co daje idealne przekładnie napięciowe przy prądzie ciągłym: przetwornica obniżająca Vo = D·Vin, podwyższająca Vo = Vin/(1 − D), odwracająca |Vo| = Vin·D/(1 − D). Idealna przetwornica zachowuje moc: Vin·Iin = Vo·Io. Gdy klucz S jest załączony, prąd cewki rośnie o ΔIL = VL·D·T/L, gdzie VL = Vin − Vo w przetwornicy obniżającej oraz Vin w podwyższającej i odwracającej. Tętnienia napięcia wyjściowego wynoszą ΔVo = ΔIL/(8fC) w przetwornicy obniżającej oraz Io·D/(fC) w podwyższającej i odwracającej. Prąd cewki tylko dotyka zera (granica pracy z prądem ciągłym), gdy średni prąd cewki jest równy ΔIL/2.

Współczynnik wypełnienia

D = 16,8/24 = 0,7

Warunek graniczny

Przyrównaj średni prąd cewki do połowy tętnień prądu i rozwiąż względem L.

Lcrit = (1 − D)·R/(2f)

Indukcyjność krytyczna

Lcrit = (1 − 0,7)·10/(250·10³) = 30 µH

Odpowiedź

Lcrit = 30 µH
3.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: n = 1560 rpm

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja Ra połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + Ia·Ra. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·Ia, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·Ia = T·ω; moc wejściowa to V·Ia, a różnicę stanowią straty w miedzi Ia²Ra oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − Ra·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/Ra. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/Ra jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Prąd twornika

Ia = T/k = 4,8/0,6 = 8 A

Siła przeciwelektromotoryczna i prędkość

E = 110 − 8·1,5 = 98 V
ω = E/k = 163,3 rad/s → n = 1560 rpm

Odpowiedź

n = 1560 rpm
4.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: n2 = 996,4 rpm

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja Ra połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + Ia·Ra. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·Ia, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·Ia = T·ω; moc wejściowa to V·Ia, a różnicę stanowią straty w miedzi Ia²Ra oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − Ra·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/Ra. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/Ra jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Siła przeciwelektromotoryczna przed zmianą i po niej

E1 = 48 − 6·1 = 42 V
E2 = 48 − 1,5·1 = 46,5 V

Nowa prędkość

n2 = 900·46,5/42 = 996,4 rpm

Odpowiedź

n2 = 996,4 rpm
5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: R = 19,2 Ω

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Rezystancja z mocy czynnej

R = P/I² = 1920/10² = 19,2 Ω

Odpowiedź

R = 19,2 Ω
6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: C = 88,42 µF

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Dopasowanie sprzężone

Reaktancja obciążenia znosi reaktancję źródła, a rezystancja obciążenia jest równa rezystancji źródła.

ZL = Zs* = 4 − j30 Ω

Pojemność

XC = 30 Ω → C = 1/(2π·60·30) = 88,42 µF

Odpowiedź

C = 88,42 µF
7.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: P = 16,36 kW

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Napięcie fazowe

Vph = 480/√3 = 277,1 V

Prąd fazowy

|Z| = √(12² + 5²) = 13 Ω
Iph = 277,1/13 = 21,32 A

Całkowita moc czynna

Moc czynną pobiera tylko rezystancyjna część każdej impedancji.

P = 3·Iph²·R = 3·21,32²·12 = 16,36 kW

Odpowiedź

P = 16,36 kW

Sprawdzenie: cos φ = R/|Z| = 0,9231, a √3·VL·IL·cos φ daje tę samą moc.

8.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: Cph = 503,8 µF

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza QC/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: VL w baterii połączonej w trójkąt, VL/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q1 = 200·tan(acos 0,8) = 200·0,75 = 150 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0,98) = 200·0,2031 = 40,61 kvar

Moc bierna z kondensatorów

QC = Q1 − Q2 = 109,4 kvar

Pojemność na fazę

W baterii połączonej w trójkąt każdy kondensator jest włączony między dwa przewody fazowe.

V = 480 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 36463/(314,2·480²) = 503,8 µF

Odpowiedź

Cph = 503,8 µF

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-electronics