Energoelektronika i napędy: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Przetwornice DC-DC

Obniżająca
Vo = D·Vin
Podwyższająca
Vo = Vin/(1 − D)
Odwracająca
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Idealny bilans mocy
VinIin = VoIo
Tętnienia prądu cewki
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Średni prąd cewki
obniżająca Io; podwyższająca i odwracająca Io/(1 − D)
Tętnienia wyjścia
obniżająca ΔIL/(8fC); podwyższająca i odwracająca Io·D/(fC)
Granica pracy z prądem ciągłym
obniżająca (1 − D)R/(2f); podwyższająca D(1 − D)²R/(2f); odwracająca (1 − D)²R/(2f)

Metoda

  1. Rozpoznaj przetwornicę (obniżającą, podwyższającą lub odwracającą) i wyznacz współczynnik wypełnienia D z przekładni napięciowej.
  2. Użyj bilansu woltosekundowego na cewce: średnie napięcie na cewce w ciągu okresu jest równe zero.
  3. Wyznacz napięcie na cewce przy załączonym kluczu, a potem ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Dla tętnień wyjścia wyznacz ładunek wpływający do kondensatora i z niego wypływający; dla granicy pracy z prądem ciągłym przyrównaj średni prąd cewki do ΔIL/2.

Silniki prądu stałego

Obwód twornika
V = E + IaRa
Siła przeciwelektromotoryczna i moment
E = k·ω, T = k·Ia
Prędkość
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Prędkość biegu jałowego i moment utyku
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Moce
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Rozruch
Istart = V/(Ra + Rst)
Zmienność prędkości
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maksymalna moc wytworzona
Pmax = V²/(4Ra)
Napęd z przerywaczem
Va = D·Vdc

Metoda

  1. Narysuj obwód twornika: napięcie zasilania V, rezystancja Ra i siła przeciwelektromotoryczna E połączone szeregowo.
  2. Użyj V = E + Ia·Ra, aby powiązać napięcie, prąd i siłę przeciwelektromotoryczną.
  3. Użyj E = k·ω dla prędkości i T = k·Ia dla momentu, z ω = 2π·n/60.
  4. Dla mocy i sprawności zacznij od V·Ia, odejmij straty w miedzi Ia²·Ra, a potem straty mechaniczne.

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna
P = V·I·cos φ
Moc bierna
Q = V·I·sin φ
Moc pozorna
S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy
pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Połączenie w trójkąt (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Całkowita moc czynna
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Moc pozorna i bierna
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze
Δ: VL Y: VL/√3
Moc pobierana przez silnik
Pin = Pout/η

2Zadania do ćwiczenia

1.Przetwornice DC-DCŚredni
tiL​Imax​ = ?Imin​Io​DTT2T

Przetwornica obniżająca zamienia 36 V na 10,8 V przy obciążeniu 8 Ω. Przełącza z częstotliwością 25 kHz i ma L = 330 µH. Wyznacz szczytowy prąd cewki Imax.

Vin​ = 36 VVo​ = 10,8 Vf = 25 kHzL = 330 µHR = 8 Ω
Imax = A
2.Przetwornice DC-DCTrudny
tiL​Imax​Io​DTT2T

Przetwornica obniżająca zamienia 12 V na 3,6 V przy 50 kHz i L = 150 µH. Wyznacz najmniejszy prąd obciążenia Io,min, przy którym nadal pracuje z prądem ciągłym.

Vin​ = 12 VVo​ = 3,6 Vf = 50 kHzL = 150 µH
Io,min = A
3.Silniki prądu stałegoŚredni
T (N·m)n (rpm)n0​ = ?

Silnik prądu stałego o k = 0,08 V·s/rad jest zasilany napięciem 24 V. Pomijając wszystkie straty na biegu jałowym, wyznacz jego prędkość biegu jałowego n0 w obr/min.

V = 24 Vk = 0,08 V·s/rad
n0 = rpm
4.Silniki prądu stałegoTrudny
+−240 VD = ?Ra​ = 0,5 ΩM+−En = 300 rpmT = 12 N·m

Przerywacz prądu stałego zasila silnik (k = 1,2 V·s/rad, Ra = 0,5 Ω) z szyny prądu stałego 240 V. Średnie napięcie twornika to D·240 V. Wyznacz współczynnik wypełnienia D, przy którym silnik pracuje z prędkością 300 obr/min i obciążeniem 12 N·m.

Vdc = 240 Vk = 1,2 V·s/radRa = 0,5 ΩT = 12 N·mn = 300 rpm
D = %
5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni
120 VZ8 + j6 ΩI

Odbiornik o impedancji Z = 8 + j6 Ω jest podłączony do jednofazowego zasilania 120 V (skuteczne). Wyznacz pobieraną przez niego moc bierną Q.

V = 120 VZ = 8 + j6 Ω
Q = var
6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny
24 V1000 HzRs​ = 10 ΩXs​ = j40 ΩZL​ = ?

Źródło 24 V (skuteczne), 1000 Hz ma impedancję wewnętrzną Zs = 10 + j40 Ω. Impedancję obciążenia ZL można dobrać dowolnie. Wyznacz maksymalną moc czynną Pmax, jaką można dostarczyć do obciążenia.

Vs = 24 V (rms)f = 1000 HzZs = 10 + j40 Ω
Pmax = W
7.Moc w układach trójfazowychŚredni
ABCVL​ = 208 VNZ = 12 + j5 Ωna fazę

Symetryczny odbiornik połączony w gwiazdę o impedancji 12 + j5 Ω na fazę jest przyłączony do symetrycznej sieci trójfazowej o napięciu przewodowym 208 V. Wyznacz całkowitą moc czynną P pobieraną przez odbiornik w kW.

VL = 208 VZ = 12 + j5 Ω na fazę
P = kW
8.Moc w układach trójfazowychTrudny
P = 120 kWφ1​S1​Q2​QC​

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 120 kW przy współczynniku mocy 0,8 (indukcyjnym) z sieci 690 V (napięcie przewodowe), 50 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,98 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Kondensatory są połączone w gwiazdę. Wyznacz pojemność Cph każdego kondensatora w µF.

P = 120 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,98VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF

3Roztwory

1.Przetwornice DC-DC

Odpowiedź: Imax = 1,808 A

Przetwornice DC-DC: klucz S jest załączony przez ułamek D każdego okresu T = 1/f. W stanie ustalonym średnie napięcie na cewce jest równe zero (bilans woltosekundowy), co daje idealne przekładnie napięciowe przy prądzie ciągłym: przetwornica obniżająca Vo = D·Vin, podwyższająca Vo = Vin/(1 − D), odwracająca |Vo| = Vin·D/(1 − D). Idealna przetwornica zachowuje moc: Vin·Iin = Vo·Io. Gdy klucz S jest załączony, prąd cewki rośnie o ΔIL = VL·D·T/L, gdzie VL = Vin − Vo w przetwornicy obniżającej oraz Vin w podwyższającej i odwracającej. Tętnienia napięcia wyjściowego wynoszą ΔVo = ΔIL/(8fC) w przetwornicy obniżającej oraz Io·D/(fC) w podwyższającej i odwracającej. Prąd cewki tylko dotyka zera (granica pracy z prądem ciągłym), gdy średni prąd cewki jest równy ΔIL/2.

Współczynnik wypełnienia

D = 10,8/36 = 0,3

Średni prąd i tętnienia prądu

Io = 10,8/8 = 1,35 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 25,2·0,3/(330·10⁻⁶·25·10³) = 0,9164 A

Prąd szczytowy

Imax = 1,35 + 0,9164/2 = 1,808 A

Odpowiedź

Imax = 1,808 A
2.Przetwornice DC-DC

Odpowiedź: Io,min = 0,168 A

Przetwornice DC-DC: klucz S jest załączony przez ułamek D każdego okresu T = 1/f. W stanie ustalonym średnie napięcie na cewce jest równe zero (bilans woltosekundowy), co daje idealne przekładnie napięciowe przy prądzie ciągłym: przetwornica obniżająca Vo = D·Vin, podwyższająca Vo = Vin/(1 − D), odwracająca |Vo| = Vin·D/(1 − D). Idealna przetwornica zachowuje moc: Vin·Iin = Vo·Io. Gdy klucz S jest załączony, prąd cewki rośnie o ΔIL = VL·D·T/L, gdzie VL = Vin − Vo w przetwornicy obniżającej oraz Vin w podwyższającej i odwracającej. Tętnienia napięcia wyjściowego wynoszą ΔVo = ΔIL/(8fC) w przetwornicy obniżającej oraz Io·D/(fC) w podwyższającej i odwracającej. Prąd cewki tylko dotyka zera (granica pracy z prądem ciągłym), gdy średni prąd cewki jest równy ΔIL/2.

Współczynnik wypełnienia

D = 3,6/12 = 0,3

Tętnienia prądu

ΔIL = 3,6·0,7/(150·10⁻⁶·50·10³) = 0,336 A

Graniczny prąd obciążenia

Io,min = ΔIL/2 = 0,168 A

Odpowiedź

Io,min = 0,168 A

Poniżej tego prądu przetwornica przechodzi do pracy z prądem nieciągłym, a Vo rośnie powyżej D·Vin.

3.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: n0 = 2865 rpm

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja Ra połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + Ia·Ra. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·Ia, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·Ia = T·ω; moc wejściowa to V·Ia, a różnicę stanowią straty w miedzi Ia²Ra oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − Ra·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/Ra. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/Ra jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Prędkość biegu jałowego

ω₀ = V/k = 24/0,08 = 300 rad/s
n0 = 60·300/(2π) = 2865 rpm

Odpowiedź

n0 = 2865 rpm
4.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: D = 17,79 %

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja Ra połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + Ia·Ra. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·Ia, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·Ia = T·ω; moc wejściowa to V·Ia, a różnicę stanowią straty w miedzi Ia²Ra oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − Ra·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/Ra. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/Ra jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Wymagane napięcie twornika

Va = 1,2·31,42 + 10·0,5 = 42,7 V

Współczynnik wypełnienia

D = 42,7/240 = 17,79 %

Odpowiedź

D = 17,79 %
5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: Q = 864 var

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Prąd

|Z| = √(8² + 6²) = 10 Ω
I = V/|Z| = 120/10 = 12 A

Moc bierna

Q = I²·X = 12²·6 = 864 var

Odpowiedź

Q = 864 var
6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: Pmax = 14,4 W

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Dopasowanie sprzężone

Reaktancja obciążenia znosi reaktancję źródła, a rezystancja obciążenia jest równa rezystancji źródła.

ZL = Zs* = 10 − j40 Ω

Moc maksymalna

I = Vs/(2Rs) = 24/20 = 1,2 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 24²/(4·10) = 14,4 W

Odpowiedź

Pmax = 14,4 W
7.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: P = 3,072 kW

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Napięcie fazowe

Vph = 208/√3 = 120,1 V

Prąd fazowy

|Z| = √(12² + 5²) = 13 Ω
Iph = 120,1/13 = 9,238 A

Całkowita moc czynna

Moc czynną pobiera tylko rezystancyjna część każdej impedancji.

P = 3·Iph²·R = 3·9,238²·12 = 3,072 kW

Odpowiedź

P = 3,072 kW

Sprawdzenie: cos φ = R/|Z| = 0,9231, a √3·VL·IL·cos φ daje tę samą moc.

8.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: Cph = 438,8 µF

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza QC/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: VL w baterii połączonej w trójkąt, VL/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q1 = 120·tan(acos 0,8) = 120·0,75 = 90 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0,98) = 120·0,2031 = 24,37 kvar

Moc bierna z kondensatorów

QC = Q1 − Q2 = 65,63 kvar

Pojemność na fazę

W baterii połączonej w gwiazdę każdy kondensator jest włączony między przewód fazowy a punkt gwiazdowy.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 21878/(314,2·398,4²) = 438,8 µF

Odpowiedź

Cph = 438,8 µF

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-electronics