Energoelektronika i napędy: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Przetwornice DC-DC

Obniżająca
Vo = D·Vin
Podwyższająca
Vo = Vin/(1 − D)
Odwracająca
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Idealny bilans mocy
VinIin = VoIo
Tętnienia prądu cewki
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Średni prąd cewki
obniżająca Io; podwyższająca i odwracająca Io/(1 − D)
Tętnienia wyjścia
obniżająca ΔIL/(8fC); podwyższająca i odwracająca Io·D/(fC)
Granica pracy z prądem ciągłym
obniżająca (1 − D)R/(2f); podwyższająca D(1 − D)²R/(2f); odwracająca (1 − D)²R/(2f)

Metoda

  1. Rozpoznaj przetwornicę (obniżającą, podwyższającą lub odwracającą) i wyznacz współczynnik wypełnienia D z przekładni napięciowej.
  2. Użyj bilansu woltosekundowego na cewce: średnie napięcie na cewce w ciągu okresu jest równe zero.
  3. Wyznacz napięcie na cewce przy załączonym kluczu, a potem ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Dla tętnień wyjścia wyznacz ładunek wpływający do kondensatora i z niego wypływający; dla granicy pracy z prądem ciągłym przyrównaj średni prąd cewki do ΔIL/2.

Silniki prądu stałego

Obwód twornika
V = E + IaRa
Siła przeciwelektromotoryczna i moment
E = k·ω, T = k·Ia
Prędkość
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Prędkość biegu jałowego i moment utyku
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Moce
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Rozruch
Istart = V/(Ra + Rst)
Zmienność prędkości
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maksymalna moc wytworzona
Pmax = V²/(4Ra)
Napęd z przerywaczem
Va = D·Vdc

Metoda

  1. Narysuj obwód twornika: napięcie zasilania V, rezystancja Ra i siła przeciwelektromotoryczna E połączone szeregowo.
  2. Użyj V = E + Ia·Ra, aby powiązać napięcie, prąd i siłę przeciwelektromotoryczną.
  3. Użyj E = k·ω dla prędkości i T = k·Ia dla momentu, z ω = 2π·n/60.
  4. Dla mocy i sprawności zacznij od V·Ia, odejmij straty w miedzi Ia²·Ra, a potem straty mechaniczne.

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna
P = V·I·cos φ
Moc bierna
Q = V·I·sin φ
Moc pozorna
S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy
pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Połączenie w trójkąt (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Całkowita moc czynna
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Moc pozorna i bierna
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze
Δ: VL Y: VL/√3
Moc pobierana przez silnik
Pin = Pout/η

2Zadania do ćwiczenia

1.Przetwornice DC-DCŚredni
tiL​Imax​ = ?Imin​Io​DTT2T

Przetwornica obniżająca zamienia 36 V na 18 V przy obciążeniu 2,5 Ω. Przełącza z częstotliwością 50 kHz i ma L = 220 µH. Wyznacz szczytowy prąd cewki Imax.

Vin​ = 36 VVo​ = 18 Vf = 50 kHzL = 220 µHR = 2,5 Ω
Imax = A
2.Przetwornice DC-DCTrudny
+−15 VLSC = 10 µFR = 5 Ω+−60 V

Idealna przetwornica podwyższająca zamienia 15 V na 60 V przy obciążeniu 5 Ω i 250 kHz. Kondensator wyjściowy ma 10 µF. Wyznacz międzyszczytowe tętnienia napięcia wyjściowego ΔVo w mV.

Vin​ = 15 VVo​ = 60 Vf = 250 kHzC = 10 µFR = 5 Ω
ΔVo = mV
3.Silniki prądu stałegoŚredni
T (N·m)n (rpm)Tst​ = ?n0​

Silnik prądu stałego o k = 0,6 N·m/A i Ra = 2 Ω jest dołączony do napięcia 110 V. Wyznacz jego moment utyku Tstall, czyli moment przy zerowej prędkości.

V = 110 Vk = 0,6 N·m/ARa = 2 Ω
Tstall = N·m
4.Silniki prądu stałegoTrudny
+−48 VRst​ = ?Ra​ = 2 Ω10 AM+−E = 0n = 0T

Silnik prądu stałego 48 V ma rezystancję twornika 2 Ω. Wyznacz szeregowy rezystor rozruchowy Rst, który ogranicza prąd rozruchowy do 10 A.

V = 48 VRa = 2 ΩImax = 10 A
Rst = Ω
5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni
230 V17 kW, 0,6225 kW, 0,7I = ?

Do jednofazowego zasilania 230 V podłączono równolegle dwa odbiorniki: odbiornik 7 kW przy współczynniku mocy 0,6 (indukcyjnym) oraz odbiornik 25 kW przy współczynniku mocy 0,7 (pojemnościowym). Wyznacz prąd całkowity I pobierany z zasilania.

V = 230 VP1 = 7 kW, pf1 = 0,6 indukcyjnyP2 = 25 kW, pf2 = 0,7 pojemnościowy
I = A
6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny
P = 20 kWQ1​S1​φ1​QC​

Odbiornik jednofazowy pobiera 20 kW przy współczynniku mocy 0,6 (indukcyjnym) z zasilania 400 V, 60 Hz. Kondensator dołączony równolegle podnosi współczynnik mocy do 0,9. Wyznacz nowy prąd linii Inew.

P = 20 kWpf1 = 0,6pf2 = 0,9V = 400 Vf = 60 Hz
Inew = A
7.Moc w układach trójfazowychŚredni
ABCVL​ = 480 VIL​ = ?M110 kW, η = 92%cos φ = 0,86

Trójfazowy silnik indukcyjny oddaje przy pełnym obciążeniu 110 kW mocy mechanicznej. Przy tym obciążeniu jego sprawność wynosi 92%, a współczynnik mocy 0,86 (indukcyjny). Napięcie przewodowe sieci wynosi 480 V. Wyznacz prąd przewodowy IL.

Pout = 110 kWη = 92%cos φ = 0,86VL = 480 V
IL = A
8.Moc w układach trójfazowychTrudny
P = 100 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 100 kW przy współczynniku mocy 0,75 (indukcyjnym) z sieci 480 V (napięcie przewodowe), 50 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,9 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Wyznacz całkowitą moc bierną QC, którą musi dostarczyć bateria kondensatorów, w kvar.

P = 100 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,9VL = 480 Vf = 50 Hz
QC = kvar

3Roztwory

1.Przetwornice DC-DC

Odpowiedź: Imax = 7,609 A

Przetwornice DC-DC: klucz S jest załączony przez ułamek D każdego okresu T = 1/f. W stanie ustalonym średnie napięcie na cewce jest równe zero (bilans woltosekundowy), co daje idealne przekładnie napięciowe przy prądzie ciągłym: przetwornica obniżająca Vo = D·Vin, podwyższająca Vo = Vin/(1 − D), odwracająca |Vo| = Vin·D/(1 − D). Idealna przetwornica zachowuje moc: Vin·Iin = Vo·Io. Gdy klucz S jest załączony, prąd cewki rośnie o ΔIL = VL·D·T/L, gdzie VL = Vin − Vo w przetwornicy obniżającej oraz Vin w podwyższającej i odwracającej. Tętnienia napięcia wyjściowego wynoszą ΔVo = ΔIL/(8fC) w przetwornicy obniżającej oraz Io·D/(fC) w podwyższającej i odwracającej. Prąd cewki tylko dotyka zera (granica pracy z prądem ciągłym), gdy średni prąd cewki jest równy ΔIL/2.

Współczynnik wypełnienia

D = 18/36 = 0,5

Średni prąd i tętnienia prądu

Io = 18/2,5 = 7,2 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 18·0,5/(220·10⁻⁶·50·10³) = 0,8182 A

Prąd szczytowy

Imax = 7,2 + 0,8182/2 = 7,609 A

Odpowiedź

Imax = 7,609 A
2.Przetwornice DC-DC

Odpowiedź: ΔVo = 3600 mV

Przetwornice DC-DC: klucz S jest załączony przez ułamek D każdego okresu T = 1/f. W stanie ustalonym średnie napięcie na cewce jest równe zero (bilans woltosekundowy), co daje idealne przekładnie napięciowe przy prądzie ciągłym: przetwornica obniżająca Vo = D·Vin, podwyższająca Vo = Vin/(1 − D), odwracająca |Vo| = Vin·D/(1 − D). Idealna przetwornica zachowuje moc: Vin·Iin = Vo·Io. Gdy klucz S jest załączony, prąd cewki rośnie o ΔIL = VL·D·T/L, gdzie VL = Vin − Vo w przetwornicy obniżającej oraz Vin w podwyższającej i odwracającej. Tętnienia napięcia wyjściowego wynoszą ΔVo = ΔIL/(8fC) w przetwornicy obniżającej oraz Io·D/(fC) w podwyższającej i odwracającej. Prąd cewki tylko dotyka zera (granica pracy z prądem ciągłym), gdy średni prąd cewki jest równy ΔIL/2.

Współczynnik wypełnienia

D = 1 − 15/60 = 0,75

Prąd obciążenia

Io = 60/5 = 12 A

Tętnienia wyjścia

ΔVo = 12·0,75/(250·10³·10·10⁻⁶) = 3600 mV

Odpowiedź

ΔVo = 3600 mV
3.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: Tstall = 33 N·m

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja Ra połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + Ia·Ra. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·Ia, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·Ia = T·ω; moc wejściowa to V·Ia, a różnicę stanowią straty w miedzi Ia²Ra oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − Ra·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/Ra. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/Ra jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Prąd utyku

Ia = V/Ra = 110/2 = 55 A

Moment utyku

Tstall = 0,6·55 = 33 N·m

Odpowiedź

Tstall = 33 N·m
4.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: Rst = 2,8 Ω

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja Ra połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + Ia·Ra. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·Ia, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·Ia = T·ω; moc wejściowa to V·Ia, a różnicę stanowią straty w miedzi Ia²Ra oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − Ra·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/Ra. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/Ra jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Rezystancja całkowita

Ra + Rst = 48/10 = 4,8 Ω

Rezystor rozruchowy

Rst = 4,8 − 2 = 2,8 Ω

Odpowiedź

Rst = 2,8 Ω

Rezystor jest wyłączany stopniowo, w miarę jak silnik przyspiesza, a siła przeciwelektromotoryczna rośnie.

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: I = 155,9 A

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Moc bierna każdego odbiornika

Odbiornik indukcyjny pobiera moc bierną (Q > 0); odbiornik pojemnościowy ją oddaje (Q < 0).

Q1 = 7·tan(arccos 0,6) = 9,333 kvar
Q2 = −25·tan(arccos 0,7) = −25,51 kvar

Sumy

P = 7 + 25 = 32 kW
Q = 9,333 + (−25,51) = −16,17 kvar
S = √(32² + (−16,17)²) = 35,85 kVA

Prąd całkowity

I = S/V = 35854/230 = 155,9 A

Odpowiedź

I = 155,9 A
6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: Inew = 55,56 A

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Moc bierna przed i po

Moc czynna P się nie zmienia; zmienia się tylko moc bierna pobierana z sieci.

Q1 = P·tan φ1 = 20·tan(53,13°) = 26,67 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 20·tan(25,84°) = 9,686 kvar
QC = Q1 − Q2 = 16,98 kvar

Nowy prąd linii

Inew = P/(V·cos φ2) = 20000/(400·0,9) = 55,56 A

Odpowiedź

Inew = 55,56 A
7.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: IL = 167,2 A

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Elektryczna moc wejściowa

Pin = Pout/η = 110/0,92 = 119,6 kW

Prąd linii

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 119565/(√3·480·0,86) = 167,2 A

Odpowiedź

IL = 167,2 A
8.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: QC = 39,76 kvar

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza QC/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: VL w baterii połączonej w trójkąt, VL/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q1 = 100·tan(acos 0,75) = 100·0,8819 = 88,19 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0,9) = 100·0,4843 = 48,43 kvar

Moc bierna z kondensatorów

QC = Q1 − Q2 = 39,76 kvar

Odpowiedź

QC = 39,76 kvar

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-electronics