Energoelektronika i napędy: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Przetwornice DC-DC

Obniżająca
Vo = D·Vin
Podwyższająca
Vo = Vin/(1 − D)
Odwracająca
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Idealny bilans mocy
VinIin = VoIo
Tętnienia prądu cewki
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Średni prąd cewki
obniżająca Io; podwyższająca i odwracająca Io/(1 − D)
Tętnienia wyjścia
obniżająca ΔIL/(8fC); podwyższająca i odwracająca Io·D/(fC)
Granica pracy z prądem ciągłym
obniżająca (1 − D)R/(2f); podwyższająca D(1 − D)²R/(2f); odwracająca (1 − D)²R/(2f)

Metoda

  1. Rozpoznaj przetwornicę (obniżającą, podwyższającą lub odwracającą) i wyznacz współczynnik wypełnienia D z przekładni napięciowej.
  2. Użyj bilansu woltosekundowego na cewce: średnie napięcie na cewce w ciągu okresu jest równe zero.
  3. Wyznacz napięcie na cewce przy załączonym kluczu, a potem ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Dla tętnień wyjścia wyznacz ładunek wpływający do kondensatora i z niego wypływający; dla granicy pracy z prądem ciągłym przyrównaj średni prąd cewki do ΔIL/2.

Silniki prądu stałego

Obwód twornika
V = E + IaRa
Siła przeciwelektromotoryczna i moment
E = k·ω, T = k·Ia
Prędkość
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Prędkość biegu jałowego i moment utyku
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Moce
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Rozruch
Istart = V/(Ra + Rst)
Zmienność prędkości
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maksymalna moc wytworzona
Pmax = V²/(4Ra)
Napęd z przerywaczem
Va = D·Vdc

Metoda

  1. Narysuj obwód twornika: napięcie zasilania V, rezystancja Ra i siła przeciwelektromotoryczna E połączone szeregowo.
  2. Użyj V = E + Ia·Ra, aby powiązać napięcie, prąd i siłę przeciwelektromotoryczną.
  3. Użyj E = k·ω dla prędkości i T = k·Ia dla momentu, z ω = 2π·n/60.
  4. Dla mocy i sprawności zacznij od V·Ia, odejmij straty w miedzi Ia²·Ra, a potem straty mechaniczne.

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna
P = V·I·cos φ
Moc bierna
Q = V·I·sin φ
Moc pozorna
S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy
pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Połączenie w trójkąt (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Całkowita moc czynna
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Moc pozorna i bierna
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze
Δ: VL Y: VL/√3
Moc pobierana przez silnik
Pin = Pout/η

2Zadania do ćwiczenia

1.Przetwornice DC-DCŚredni
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

Idealna przetwornica odwracająca zamienia 12 V na −4 V przy 20 kHz i L = 150 µH. Wyznacz międzyszczytowe tętnienia prądu cewki ΔIL.

Vin​ = 12 VVo​ = −4 Vf = 20 kHzL = 150 µH
ΔIL = A
2.Przetwornice DC-DCTrudny
tiL​Imax​IL​DTT2T

Idealna przetwornica obniżająca zamienia 9 V na 3,6 V przy obciążeniu 12 Ω i 40 kHz. Wyznacz najmniejszą indukcyjność Lcrit zapewniającą pracę z prądem ciągłym.

Vin​ = 9 VVo​ = 3,6 Vf = 40 kHzR = 12 Ω
Lcrit = µH
3.Silniki prądu stałegoŚredni
+−VRa​M+−En = 1800 rpmT = ?

Silnik prądu stałego oddaje moc mechaniczną 0,5 kW przy 1800 obr/min. Wyznacz moment na wale T.

P = 0,5 kWn = 1800 rpm
T = N·m
4.Silniki prądu stałegoTrudny
+−110 VRa​ = 0,2 ΩM+−En = ?T = 15 N·m

Silnik obcowzbudny (k = 0,5 V·s/rad przy pełnym polu, Ra = 0,2 Ω, V = 110 V) napędza obciążenie o stałym momencie 15 N·m. Strumień wzbudzenia zmniejszono do 80 % wartości pełnej. Wyznacz nową prędkość n.

V = 110 Vk = 0,5 V·s/radRa = 0,2 ΩT = 15 N·mΦ = 80 %
n = rpm
5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni
P = 31 kWQSφ

Silnik jednofazowy pobiera 31 kW przy współczynniku mocy 0,7 (indukcyjnym) z zasilania 400 V. Wyznacz prąd linii I.

P = 31 kWpf = 0,7V = 400 V
I = A
6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny
50 V50 HzRs​ = 50 ΩXs​ = j20 ΩZL​ = ?

Źródło 50 V (skuteczne), 50 Hz ma impedancję wewnętrzną Zs = 50 + j20 Ω. Impedancję obciążenia ZL można dobrać dowolnie. Obciążenie zapewniające maksymalną moc składa się z rezystora połączonego szeregowo z kondensatorem. Wyznacz pojemność C.

Vs = 50 V (rms)f = 50 HzZs = 50 + j20 Ω
C = µF
7.Moc w układach trójfazowychŚredni
ABCVL​ = 208 VNZ = 9 + j12 Ωna fazę

Symetryczny odbiornik połączony w gwiazdę o impedancji 9 + j12 Ω na fazę jest przyłączony do symetrycznej sieci trójfazowej o napięciu przewodowym 208 V. Wyznacz całkowitą moc czynną P pobieraną przez odbiornik w kW.

VL = 208 VZ = 9 + j12 Ω na fazę
P = kW
8.Moc w układach trójfazowychTrudny
P = 300 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 300 kW przy współczynniku mocy 0,72 (indukcyjnym) z sieci 690 V (napięcie przewodowe), 50 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,9 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Wyznacz całkowitą moc bierną QC, którą musi dostarczyć bateria kondensatorów, w kvar.

P = 300 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,9VL = 690 Vf = 50 Hz
QC = kvar

3Roztwory

1.Przetwornice DC-DC

Odpowiedź: ΔIL = 1 A

Przetwornice DC-DC: klucz S jest załączony przez ułamek D każdego okresu T = 1/f. W stanie ustalonym średnie napięcie na cewce jest równe zero (bilans woltosekundowy), co daje idealne przekładnie napięciowe przy prądzie ciągłym: przetwornica obniżająca Vo = D·Vin, podwyższająca Vo = Vin/(1 − D), odwracająca |Vo| = Vin·D/(1 − D). Idealna przetwornica zachowuje moc: Vin·Iin = Vo·Io. Gdy klucz S jest załączony, prąd cewki rośnie o ΔIL = VL·D·T/L, gdzie VL = Vin − Vo w przetwornicy obniżającej oraz Vin w podwyższającej i odwracającej. Tętnienia napięcia wyjściowego wynoszą ΔVo = ΔIL/(8fC) w przetwornicy obniżającej oraz Io·D/(fC) w podwyższającej i odwracającej. Prąd cewki tylko dotyka zera (granica pracy z prądem ciągłym), gdy średni prąd cewki jest równy ΔIL/2.

Współczynnik wypełnienia

D = 4/(12 + 4) = 0,25

Napięcie na cewce w czasie załączenia

Gdy klucz S jest załączony, cewka leży bezpośrednio na napięciu Vin.

VL = 12 V

Tętnienia prądu

ΔIL = VL·D/(L·f) = 12·0,25/(150·10⁻⁶·20·10³) = 1 A

Odpowiedź

ΔIL = 1 A
2.Przetwornice DC-DC

Odpowiedź: Lcrit = 90 µH

Przetwornice DC-DC: klucz S jest załączony przez ułamek D każdego okresu T = 1/f. W stanie ustalonym średnie napięcie na cewce jest równe zero (bilans woltosekundowy), co daje idealne przekładnie napięciowe przy prądzie ciągłym: przetwornica obniżająca Vo = D·Vin, podwyższająca Vo = Vin/(1 − D), odwracająca |Vo| = Vin·D/(1 − D). Idealna przetwornica zachowuje moc: Vin·Iin = Vo·Io. Gdy klucz S jest załączony, prąd cewki rośnie o ΔIL = VL·D·T/L, gdzie VL = Vin − Vo w przetwornicy obniżającej oraz Vin w podwyższającej i odwracającej. Tętnienia napięcia wyjściowego wynoszą ΔVo = ΔIL/(8fC) w przetwornicy obniżającej oraz Io·D/(fC) w podwyższającej i odwracającej. Prąd cewki tylko dotyka zera (granica pracy z prądem ciągłym), gdy średni prąd cewki jest równy ΔIL/2.

Współczynnik wypełnienia

D = 3,6/9 = 0,4

Warunek graniczny

Przyrównaj średni prąd cewki do połowy tętnień prądu i rozwiąż względem L.

Lcrit = (1 − D)·R/(2f)

Indukcyjność krytyczna

Lcrit = (1 − 0,4)·12/(240·10³) = 90 µH

Odpowiedź

Lcrit = 90 µH
3.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: T = 2,653 N·m

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja Ra połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + Ia·Ra. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·Ia, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·Ia = T·ω; moc wejściowa to V·Ia, a różnicę stanowią straty w miedzi Ia²Ra oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − Ra·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/Ra. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/Ra jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Prędkość w rad/s

ω = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

Moment skręcający

T = P/ω = 500/188,5 = 2,653 N·m

Odpowiedź

T = 2,653 N·m
4.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: n = 2447 rpm

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja Ra połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + Ia·Ra. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·Ia, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·Ia = T·ω; moc wejściowa to V·Ia, a różnicę stanowią straty w miedzi Ia²Ra oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − Ra·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/Ra. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/Ra jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Stała silnika przy osłabionym polu

k₂ = 0,8·0,5 = 0,4 V·s/rad

Nowy prąd twornika

Ia = 15/0,4 = 37,5 A

Nowa prędkość

ω = (110 − 37,5·0,2)/0,4 = 256,3 rad/s → n = 2447 rpm

Odpowiedź

n = 2447 rpm

Osłabianie pola pozwala napędowi prądu stałego pracować powyżej prędkości podstawowej.

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: I = 110,7 A

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Prąd linii

Pracę wykonuje tylko moc czynna, więc podziel przez współczynnik mocy.

I = P/(V·cos φ) = 31000/(400·0,7) = 110,7 A

Odpowiedź

I = 110,7 A
6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: C = 159,2 µF

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Dopasowanie sprzężone

Reaktancja obciążenia znosi reaktancję źródła, a rezystancja obciążenia jest równa rezystancji źródła.

ZL = Zs* = 50 − j20 Ω

Pojemność

XC = 20 Ω → C = 1/(2π·50·20) = 159,2 µF

Odpowiedź

C = 159,2 µF
7.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: P = 1,731 kW

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Napięcie fazowe

Vph = 208/√3 = 120,1 V

Prąd fazowy

|Z| = √(9² + 12²) = 15 Ω
Iph = 120,1/15 = 8,006 A

Całkowita moc czynna

Moc czynną pobiera tylko rezystancyjna część każdej impedancji.

P = 3·Iph²·R = 3·8,006²·9 = 1,731 kW

Odpowiedź

P = 1,731 kW

Sprawdzenie: cos φ = R/|Z| = 0,6, a √3·VL·IL·cos φ daje tę samą moc.

8.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: QC = 143,9 kvar

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza QC/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: VL w baterii połączonej w trójkąt, VL/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q1 = 300·tan(acos 0,72) = 300·0,9639 = 289,2 kvar
Q2 = 300·tan(acos 0,9) = 300·0,4843 = 145,3 kvar

Moc bierna z kondensatorów

QC = Q1 − Q2 = 143,9 kvar

Odpowiedź

QC = 143,9 kvar

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-electronics