Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Badacz chce sprawdzić, czy istnieje związek między płcią (mężczyzna/kobieta) a ulubionym gatunkiem filmowym (cztery kategorie). Który test jest odpowiedni?

ATest niezależności chi-kwadrat
BJednoczynnikowa ANOVA
CTest t dla prób zależnych
DKorelacja Pearsona

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Metaanaliza łączy 40 badań nad pewną terapią. Dlaczego jej łączna wielkość efektu może nadal być zbyt duża?

AMetaanalizy nie mogą obejmować badań randomizowanych
BMetaanalizy zawsze dają mniejsze efekty niż pojedyncze badania, które obejmują
CZ powodu obciążenia publikacyjnego może brakować nieopublikowanych badań z wynikami zerowymi
DŁączenie badań zawsze usuwa wszelkie obciążenia

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 58, 16, 12, 36, 34.

n = 5

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 10. Jaka część P wartości leży powyżej 48?

μ = 60σ = 10x = 48

P =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,35, 0,1, 0,35

Var(X) =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €2. Wygrywasz €10 z prawdopodobieństwem 0,15 i €40 z prawdopodobieństwem 0,05; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €2€10: p = 0,15€40: p = 0,05

E(G) = €

7.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,7243. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,7243

z =

8.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 40% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 65 pktσ = 10 pkt40%

x = pkt

9.Przedziały ufnościŚredni

Próba 8 elementów ma średnią 58 i odchylenie standardowe s = 15,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 8x̄ = 58s = 15,590%t(7) = 1,895

E =

10.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 15. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 4?

σ = 15E = 495%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 25 studentów ma średni wynik 79,08 i odchylenie standardowe z próby 12. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 79,08s = 12n = 25

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 95 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5? Odchylenie standardowe wynosi 5. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.

σ = 5E = 1,595%

n =

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5Σx = 15Σy = 197Σx² = 55Σy² = 7933Σxy = 631

r =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 25?

n = 6ŷ = 25

x =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. W teście niezależności chi-kwadrat wyznacz liczebność oczekiwaną E dla komórki „miasto, niski”.

suma wiersza = 73suma kolumny = 71N = 180

E =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Test zgodności chi-kwadrat porównuje liczebności obserwowane w 4 kategoriach z w pełni określonymi oczekiwanymi udziałami (żadne parametry nie są estymowane z danych). Ile stopni swobody df ma test?

k = 4

df =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: A · Test niezależności chi-kwadrat

Dlaczego to jest odpowiedź

Test chi-kwadrat porównuje liczebności obserwowane z oczekiwanymi w tabeli kontyngencji, by sprawdzić, czy dwie zmienne kategorialne są powiązane.

Odpowiedź

A · Test niezależności chi-kwadrat

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: C · Z powodu obciążenia publikacyjnego może brakować nieopublikowanych badań z wynikami zerowymi

Dlaczego to jest odpowiedź

Jeśli wyniki zerowe są rzadziej publikowane, łączny efekt jest zawyżony. Wykresy lejkowe i poszukiwanie nieopublikowanych danych pomagają to wykryć i ograniczyć.

Odpowiedź

C · Z powodu obciążenia publikacyjnego może brakować nieopublikowanych badań z wynikami zerowymi

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 18,36

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 156/5 = 31,2

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 26,8² + (−15,2)² + (−19,2)² + 4,8² + 2,8² = 1349

Odchylenie standardowe

s = √(1349/4) = 18,36

Odpowiedź

s = 18,36

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,8849

Standaryzuj

z = −1,2

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Odpowiedź

P = 0,8849

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 1,34

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,2 + 1·0,35 + 2·0,1 + 3·0,35 = 1,6

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,35 + 4·0,1 + 9·0,35 = 3,9

Wariancja

Var(X) = 3,9 − 1,6² = 1,34

Odpowiedź

Var(X) = 1,34

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = 1,5 €

Wyniki netto

G: 8 (p = 0,15), 38 (p = 0,05), −2 (p = 0,8)

Wartość oczekiwana

E(G) = 8·0,15 + 38·0,05 − 2·0,8 = 1,5 €

Odpowiedź

E(G) = 1,5 €

Wartość dodatnia oznacza, że średnio wygrywasz pieniądze.

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 1,09

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = (1 + 0,7243)/2 = 0,8621

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,8621 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 1,09

Odpowiedź

z = 1,09

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 62,5 pkt

Pole po lewej

Φ(z) = 0,4

z z tablicy

z ≈ −0,25

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 65 − 0,25·10 = 62,5 pkt

Odpowiedź

x = 62,5 pkt

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 10,38

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 7, t = 1,895

Margines błędu

E = 1,895·15,5/√8 = 10,38

Odpowiedź

E = 10,38

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 55

Wyznacz n

n = (1,96·15/4)² = 54,02

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 55

Odpowiedź

n = 55

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 1,7

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4

Statystyka testowa

t = (79,08 − 75)/2,4 = 1,7

Odpowiedź

t = 1,7

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 43

Wyznacz n

n = (1,96·5/1,5)² = 42,68

Zaokrąglij w górę

n = 43

Odpowiedź

n = 43

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9667

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 631 − 15·197/5 = 40

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 7933 − 197²/5 = 171,2

Współczynnik korelacji

r = 40/√(10·171,2) = 0,9667

Odpowiedź

r = 0,9667

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 2,739

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 144/6 = 24

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23

Prosta regresji

b = −23/17,5 = −1,314

a = 24 − (−1,314)·3,5 = 28,6

ŷ = 28,6 − 1,314·x

Wyznacz x

x = (25 − 28,6)/(−1,314) = 2,739

Odpowiedź

x = 2,739

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: E = 28,79

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebność oczekiwana

E = 73·71/180 = 28,79

Odpowiedź

E = 28,79

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: df = 3

Stopnie swobody

df = 4 − 1 = 3

Odpowiedź

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology