Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Obciążenie ze strony eksperymentatora najbardziej bezpośrednio zmniejsza:

AZastosowanie hipotezy jednostronnej
BKorzystanie wyłącznie z ochotników
CZwiększenie liczebności próby
DZbieranie danych przez badacza, który nie zna hipotezy ani warunków

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Badanie raportuje t(28) = 2,50, p = .018 dla dwóch niezależnych grup równej wielkości. Ilu uczestników wzięło udział?

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 53, 39, 57, 43, 25.

n = 5

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 8. Jaka część P wartości leży poniżej 68?

μ = 60σ = 8x = 68

P =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

Na ile sposobów N można wybrać komisję 3 osób z grupy 15 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 15k = 3

N =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = 2X + 10. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,3, 0,3, 0,15, 0,05Y = 2X + 10

σ_Y =

7.Rozkład normalnyŚredni

Masy pasażerów z bagażem są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 85 kg i odchyleniem standardowym 12 kg. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 16 z nich przekroczy 1336 kg. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 16> 1336 kg

P =

8.Rozkład normalnyTrudny

Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,02 mm i odchyleniem standardowym 0,015 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

otwór: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

9.Przedziały ufnościŚredni

U 20 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią 3,1 i odchylenie standardowe 2,5. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90 % dla średniej różnicy.

n = 20d̄ = 3,1s_d = 2,590%t(19) = 1,729

górna granica = mmHg

10.Przedziały ufnościTrudny

Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 6 poletek, średni plon 38,5 kg, odchylenie standardowe 7 kg. Grupa poletek 2: 8 poletek, średnia 34,5 kg, odchylenie standardowe 5 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 38,5s₁ = 7n₂ = 8x̄₂ = 34,5s₂ = 590%t(12) = 1,782

górna granica = kg

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 64 studentów ma średni wynik 72,75 i odchylenie standardowe z próby 10. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 72,75s = 10n = 64

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z dla H₀: μ = 500 przeciw H₁: μ < 500 przeprowadza się na poziomie α = 0.05 na próbie o liczebności 64; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 24. W rzeczywistości średnia wynosi 491. Wyznacz moc 1 − β testu w procentach.

μ₀ = 500μ = 491σ = 24n = 64α = 0,05

1 − β = %

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5

r =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 6,5.

n = 6x = 6,5

ŷ =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 1802 × 2

χ² =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Test zgodności chi-kwadrat porównuje liczebności obserwowane w 9 kategoriach z w pełni określonymi oczekiwanymi udziałami (żadne parametry nie są estymowane z danych). Ile stopni swobody df ma test?

k = 9

df =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: D · Zbieranie danych przez badacza, który nie zna hipotezy ani warunków

Dlaczego to jest odpowiedź

Eksperymentatorzy znający hipotezę mogą nieświadomie wpływać na uczestników lub zapis wyników. Ogranicza to procedura pojedynczo lub podwójnie ślepa oraz standaryzowane instrukcje.

Odpowiedź

D · Zbieranie danych przez badacza, który nie zna hipotezy ani warunków

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: A · 30

Dlaczego to jest odpowiedź

28 stopni swobody oznacza 28 + 2 = 30 uczestników, po 15 w każdej grupie.

Odpowiedź

A · 30

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 12,6

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 217/5 = 43,4

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 9,6² + (−4,4)² + 13,6² + (−0,4)² + (−18,4)² = 635,2

Odchylenie standardowe

s = √(635,2/4) = 12,6

Odpowiedź

s = 12,6

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,8413

Standaryzuj

z = 1

Tablica rozkładu normalnego

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

Odpowiedź

P = 0,8413

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 455

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(15, 3) = (15·14·13)/(3·2·1) = 455

Odpowiedź

N = 455

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 2,234

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Rozrzut X

μ = 2,55, Var(X) = 1,248, σ_X = 1,117

Zmiana liniowa

σ_Y = |2|·1,117 = 2,234

Odpowiedź

σ_Y = 2,234

Średnia się przesuwa: E(Y) = 2·2,55 + 10 = 15,1.

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,6915

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy całkowitej

μ_T = 1360 kg, σ_T = 12·√16 = 48 kg

Standaryzuj

z = (1336 − 1360)/48 = −0,5

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−0,5) = 0,6915

Odpowiedź

P = 0,6915

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,7881

Rozkład różnicy

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,025 mm

Standaryzuj

z = (0 − 0,02)/0,025 = −0,8

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Odpowiedź

P = 0,7881

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 4,067 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Wartość krytyczna

df = 19, t = 1,729

Margines błędu

E = 1,729·2,5/√20 = 0,9665

Przedział

3,1 ± 0,9665 → [2,133, 4,067]

Odpowiedź

górna granica = 4,067 mmHg

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 9,694 kg

Łączne odchylenie standardowe

s_p² = (5·7² + 7·5²)/12 = 35

s_p = 5,916

Margines błędu

E = 1,782·5,916·√(1/6 + 1/8) = 5,694

Przedział

4 ± 5,694 → [−1,694, 9,694]

Odpowiedź

górna granica = 9,694 kg

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −1,8

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25

Statystyka testowa

t = (72,75 − 75)/1,25 = −1,8

Odpowiedź

t = −1,8

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: 1 − β = 91,23 %

Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Krytyczna średnia z próby

SE = 24/√64 = 3

x̄_c = 500 − 1,645·3 = 495,1

z przy prawdziwej średniej

z = (495,1 − 491)/3 = 1,355

Moc

moc = P(Z < 1.355) = 91.23%

1 − β = 91,23%

Odpowiedź

1 − β = 91,23%

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9918

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 435/5 = 87

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 240

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1464

Współczynnik korelacji

r = 240/√(40·1464) = 0,9918

Odpowiedź

r = 0,9918

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 48,94

Średnie

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 283/6 = 47,17

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 15,5

Prosta regresji

b = 15,5/17,5 = 0,8857

a = 47,17 − 0,8857·4,5 = 43,18

ŷ = 43,18 + 0,8857·x

Prognoza

ŷ = 43,18 + 0,8857·6,5 = 48,94

Odpowiedź

ŷ = 48,94

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 0,1071

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

nowy lek: 80·54/180 = 24, 80·126/180 = 56

placebo: 100·54/180 = 30, 100·126/180 = 70

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (23 − 24)²/24 + (57 − 56)²/56 + (31 − 30)²/30 + (69 − 70)²/70

χ² = 0,1071

Odpowiedź

χ² = 0,1071

df = 1. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 3,841, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): brak podstaw do odrzucenia.

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: df = 8

Stopnie swobody

df = 9 − 1 = 8

Odpowiedź

df = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology