Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Operacjonalizacja oznacza:

AWybór testu statystycznego
BUdzielenie instrukcji uczestnikom
CPrzeprowadzenie badania w rzeczywistych warunkach funkcjonowania, np. w szpitalu
DZdefiniowanie zmiennych w precyzyjny, mierzalny sposób

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Pacjenci wybrani ze względu na skrajnie wysokie wyniki lęku uzyskują niższe wyniki w drugim pomiarze, nawet bez leczenia. Jakie jest najbardziej prawdopodobne wyjaśnienie?

ARegresja do średniej
BEfekt sufitowy
CEfekt Hawthorne
DRównoważenie kolejności

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 10, 31, 21, 52, 27.

n = 5

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 10. Wyznacz wynik z z dla wyniku 82,5.

μ = 70σ = 10x = 82,5

z =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

Na ile sposobów N można wybrać komisję 4 osób z grupy 6 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 6k = 4

N =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = 3X + 10. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,05, 0,15, 0,2, 0,35Y = 3X + 10

σ_Y =

7.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Jaka część wartości leży między 470 a 520 h? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 500σ = 40x₁ = 470x₂ = 520

P =

8.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 10% wszystkich wartości (10. percentyl).

μ = 500σ = 40P = 10%

x = h

9.Przedziały ufnościŚredni

Próba 7 elementów ma średnią 96,5 i odchylenie standardowe s = 2,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 7x̄ = 96,5s = 2,595%t(6) = 2,447

E =

10.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 16. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 0,5?

σ = 16E = 0,595%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 100 studentów ma średni wynik 203,2 i odchylenie standardowe z próby 15. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 203,2s = 15n = 100

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z na poziomie α = 0,05 ma wykryć przesunięcie średniej o 1,5 jednostek z mocą 90 %. Odchylenie standardowe wynosi 6. Wyznacz minimalną liczebność próby n.

α = 0,05moc = 90%δ = 1,5σ = 6z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6

r =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 22?

n = 5ŷ = 22

x =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 2002 × 3

χ² =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Test zgodności chi-kwadrat porównuje liczebności obserwowane w 11 kategoriach z w pełni określonymi oczekiwanymi udziałami (żadne parametry nie są estymowane z danych). Ile stopni swobody df ma test?

k = 11

df =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: D · Zdefiniowanie zmiennych w precyzyjny, mierzalny sposób

Dlaczego to jest odpowiedź

Operacjonalizacja zmienia abstrakcyjne pojęcia w konkretne pomiary, dzięki czemu badanie można powtórzyć.

Odpowiedź

D · Zdefiniowanie zmiennych w precyzyjny, mierzalny sposób

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: A · Regresja do średniej

Dlaczego to jest odpowiedź

Gdy osoby wybiera się ze względu na skrajne wyniki, błąd pomiaru i przypadek sprawiają, że ich późniejsze wyniki zwykle przesuwają się ku średniej. Grupy kontrolne pomagają oddzielić to od efektów leczenia.

Odpowiedź

A · Regresja do średniej

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 15,48

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 141/5 = 28,2

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−18,2)² + 2,8² + (−7,2)² + 23,8² + (−1,2)² = 958,8

Odchylenie standardowe

s = √(958,8/4) = 15,48

Odpowiedź

s = 15,48

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 1,25

Standaryzuj

z = (82,5 − 70)/10 = 1,25

Odpowiedź

z = 1,25

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 15

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(6, 4) = (6·5·4·3)/(4·3·2·1) = 15

Odpowiedź

N = 15

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 4,769

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Rozrzut X

μ = 3,35, Var(X) = 2,527, σ_X = 1,59

Zmiana liniowa

σ_Y = |3|·1,59 = 4,769

Odpowiedź

σ_Y = 4,769

Średnia się przesuwa: E(Y) = 3·3,35 + 10 = 20,05.

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,4648

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (470 − 500)/40 = −0,75

z₂ = (520 − 500)/40 = 0,5

Pole pomiędzy

P = Φ(0,5) − Φ(−0,75) = 0,6915 − 0,2266 = 0,4648

Odpowiedź

P = 0,4648

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 448,7 h

z dla percentyla

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Powrót do x

x = 500 + −1,282·40 = 448,74 h

Odpowiedź

x = 448,74 h

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 2,312

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 6, t = 2,447

Margines błędu

E = 2,447·2,5/√7 = 2,312

Odpowiedź

E = 2,312

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 3934

Wyznacz n

n = (1,96·16/0,5)² = 3934

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 3934

Odpowiedź

n = 3934

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 2,133

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5

Statystyka testowa

t = (203,2 − 200)/1,5 = 2,133

Odpowiedź

t = 2,133

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 138

Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = ((1,645 + 1,282)·6/1,5)² = 137,1

Zaokrąglij w górę

n = 138

Odpowiedź

n = 138

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = −0,8281

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 122/6 = 20,33

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 33,33

Współczynnik korelacji

r = −20/√(17,5·33,33) = −0,8281

Odpowiedź

r = −0,8281

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 1,667

Średnie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 100/5 = 20

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −15

Prosta regresji

b = −15/10 = −1,5

a = 20 − (−1,5)·3 = 24,5

ŷ = 24,5 − 1,5·x

Wyznacz x

x = (22 − 24,5)/(−1,5) = 1,667

Odpowiedź

x = 1,667

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 28,72

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

zmiana dzienna: 120·40/200 = 24, 120·90/200 = 54, 120·70/200 = 42

zmiana nocna: 80·40/200 = 16, 80·90/200 = 36, 80·70/200 = 28

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (23 − 24)²/24 + (71 − 54)²/54 + (26 − 42)²/42 + (17 − 16)²/16 + (19 − 36)²/36 + (44 − 28)²/28

χ² = 28,72

Odpowiedź

χ² = 28,72

df = 2. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 5,991, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): odrzucona.

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: df = 10

Stopnie swobody

df = 11 − 1 = 10

Odpowiedź

df = 10

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology