Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
Testy chi-kwadrat
- Statystyka testowa
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Test zgodności
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Niezależność
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Wartości krytyczne (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Decyzja
- odrzuć H0, jeśli χ² > χ²crit
2Zadania do ćwiczenia
1.Metody badawcze w psychologiiŚredni
Badacz bada wpływ płci na wyniki testu pamięci. Dlaczego jest to quasi-eksperyment, a nie prawdziwy eksperyment?
- ASą tylko dwa warunki, a prawdziwy eksperyment wymaga co najmniej trzech poziomów zmiennej niezależnej
- BZZ nie jest mierzona
- CZN to cecha istniejąca wcześniej, więc nie można losowo przydzielić do niej uczestników
- DBadanie odbywa się w laboratorium
2.Metody badawcze w psychologiiTrudny
Jaki jest główny cel losowego przydziału do warunków w eksperymencie?
- AZapewnienie, że uczestnicy nie znają celu
- BZwiększenie odsetka odpowiedzi
- CZapewnienie reprezentatywności próby dla populacji docelowej, aby wyniki dało się uogólnić
- DRównomierne rozłożenie zmiennych osobowych, by nie zakłócały wyników
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 40, 19, 43, 58, 34, 26.
n = 6
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 25. Jaka część P wartości leży powyżej 525?
μ = 500σ = 25x = 525
P =
5.PrawdopodobieństwoŚredni
Uczciwą kostką rzucamy 5 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?
n = 5
P =
6.PrawdopodobieństwoTrudny
X ma pokazany rozkład, a Y = 0,5X + 20. Wyznacz odchylenie standardowe σY zmiennej Y.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,1, 0,35, 0,3, 0,25Y = 0,5X + 20
σY =
7.Rozkład normalnyŚredni
X ma rozkład normalny ze średnią 12 min i odchyleniem standardowym 1,5 min; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 20 min i odchyleniem standardowym 2 min. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 30,8 min. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 30,8 min
P =
8.Rozkład normalnyTrudny
Czas okrążenia X biegacza A i czas okrążenia Y biegacza B są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 52 s i odchylenie standardowe 4 s, Y ma średnią 48 s i odchylenie standardowe 3 s. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
9.Przedziały ufnościŚredni
Próba 20 elementów ma średnią 10,5 i odchylenie standardowe s = 14. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.
n = 20x̄ = 10,5s = 1490%t(19) = 1,729
dolna granica =
10.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 40. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5?
σ = 40E = 1,590%
n =
11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 11 uczniów, średni wynik 119,5, odchylenie standardowe 11. Grupa 2: 6 uczniów, średni wynik 110,8, odchylenie standardowe 10. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).
n₁ = 11x̄₁ = 119,5s₁ = 11n₂ = 6x̄₂ = 110,8s₂ = 10
t =
12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z na poziomie α = 0,05 ma wykryć przesunięcie średniej o 1,5 jednostek z mocą 80 %. Odchylenie standardowe wynosi 6. Wyznacz minimalną liczebność próby n.
α = 0,05moc = 80%δ = 1,5σ = 6zα = 1,645zβ = 0,842
n =
13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 5Σx = 15Σy = 117Σx² = 55Σy² = 2759Σxy = 340
r =
14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 28,5.
n = 5x = 28,5
ŷ =
15.Testy chi-kwadratŚredni
Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.
N = 1602 × 2
χ² =
16.Testy chi-kwadratTrudny
Tabela pokazuje liczebności obserwowane. Sprawdź na poziomie α = 0,05, czy obie zmienne są niezależne (bez poprawki na ciągłość). Oblicz statystykę testową χ², a potem porównaj ją z wartością krytyczną z tabeli.
N = 2803 × 2α = 0,05
χ² =
3Roztwory
1.Metody badawcze w psychologii
Odpowiedź: C · ZN to cecha istniejąca wcześniej, więc nie można losowo przydzielić do niej uczestników
Dlaczego to jest odpowiedź
W quasi-eksperymencie ZN to naturalnie występująca różnica między ludźmi. Bez losowego przydziału inne różnice między grupami mogą zakłócać wyniki.
Odpowiedź
C · ZN to cecha istniejąca wcześniej, więc nie można losowo przydzielić do niej uczestników
2.Metody badawcze w psychologii
Odpowiedź: D · Równomierne rozłożenie zmiennych osobowych, by nie zakłócały wyników
Dlaczego to jest odpowiedź
Losowy przydział równoważy różnice indywidualne między warunkami i wspiera wnioski przyczynowe. Losowy dobór próby dotyczy uogólniania na populację.
Odpowiedź
D · Równomierne rozłożenie zmiennych osobowych, by nie zakłócały wyników
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 13,71
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 220/6 = 36,67
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = 3,333² + (−17,67)² + 6,333² + 21,33² + (−2,667)² + (−10,67)² = 939,3
Odchylenie standardowe
s = √(939,3/5) = 13,71
Odpowiedź
s = 13,71
4.Statystyka opisowa
Odpowiedź: P = 0,1587
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 1
Tablica rozkładu normalnego
Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587
Odpowiedź
P = 0,1587
5.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,5981
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zdarzenie przeciwne
P(brak szóstki) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981
Odpowiedź
P = 0,5981
6.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: σY = 0,9539
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Rozrzut X
μ = 3,4, Var(X) = 3,64, σX = 1,908
Zmiana liniowa
σY = |0,5|·1,908 = 0,9539
Odpowiedź
σY = 0,9539
Średnia się przesuwa: E(Y) = 0,5·3,4 + 20 = 21,7.
7.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,6844
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład sumy
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Standaryzuj
z = (30,8 − 32)/2,5 = −0,48
Górny ogon
P = 1 − Φ(−0,48) = 1 − 0,3156 = 0,6844
Odpowiedź
P = 0,6844
8.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,7881
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład różnicy
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Standaryzuj
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Odpowiedź
P = 0,7881
9.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = 5,087
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 19, t = 1,729
Margines błędu
E = 1,729·14/√20 = 5,413
Przedział
10,5 ± 5,413 → [5,087, 15,91]
Odpowiedź
dolna granica = 5,087
10.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 1925
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,645·40/1,5)² = 1924
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 1925
Odpowiedź
n = 1925
11.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 1,606
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Wariancja łączna
sp² = (10·11² + 5·10²)/15 = 114
sp = 10,68
Błąd standardowy
SE = 10,68·√(1/11 + 1/6) = 5,419
Statystyka testowa
t = (119,5 − 110,8)/5,419 = 1,606
Odpowiedź
t = 1,606
Przy df = 15 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,131; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.
12.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 99
Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = ((1,645 + 0,842)·6/1,5)² = 98,96
Zaokrąglij w górę
n = 99
Odpowiedź
n = 99
13.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = −0,7555
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Sumy scentrowane
Sxy = 340 − 15·117/5 = −11
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2759 − 117²/5 = 21,2
Współczynnik korelacji
r = −11/√(10·21,2) = −0,7555
Odpowiedź
r = −0,7555
14.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: ŷ = 129,3
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 120/5 = 24
ȳ = 523/5 = 104,6
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 495
Prosta regresji
b = 495/90 = 5,5
a = 104,6 − 5,5·24 = −27,4
ŷ = −27,4 + 5,5·x
Prognoza
ŷ = −27,4 + 5,5·28,5 = 129,3
Odpowiedź
ŷ = 129,3
15.Testy chi-kwadrat
Odpowiedź: χ² = 21,78
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
Liczebności oczekiwane
mężczyźni: 100·64/160 = 40, 100·96/160 = 60
kobiety: 60·64/160 = 24, 60·96/160 = 36
Statystyka chi-kwadrat
χ² = (54 − 40)²/40 + (46 − 60)²/60 + (10 − 24)²/24 + (50 − 36)²/36
χ² = 21,78
Odpowiedź
χ² = 21,78
df = 1. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 3,841, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): odrzucona.
16.Testy chi-kwadrat
Odpowiedź: χ² = 3,25
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
Liczebności oczekiwane
linia 1: 40, 60
linia 2: 40, 60
linia 3: 32, 48
Statystyka chi-kwadrat
χ² = (37 − 40)²/40 + (63 − 60)²/60 + (47 − 40)²/40 + (53 − 60)²/60 + (28 − 32)²/32 + (52 − 48)²/48
χ² = 3,25
Decyzja
df = 2, χ²crit = 5,991
3,25 < 5,991
Odpowiedź
χ² = 3,25
χ² jest mniejsze od wartości krytycznej, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀: brak istotnych dowodów na związek.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology