Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne
P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Rozkład normalny

Wynik z
z = (x − μ)/σ
Poniżej x
P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentyl
x = μ + z·σ

Metoda

  1. Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
  2. Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
  3. Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
  4. Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

  1. Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
  2. Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
  3. Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
  4. Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n

Metoda

  1. Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
  2. Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
  3. Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
  4. Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy
b = Sxy/Sxx
Wyraz wolny
a = ȳ − b·x̄
Korelacja
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reszta
e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa
χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja
odrzuć H0, jeśli χ² > χ²crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Charakterystyki żądania (demand characteristics) to:

  1. AStatystyczne założenia testu
  2. BFormalne wymagania, jakie komisja etyczna stawia przed rozpoczęciem badania
  3. CCechy próby
  4. DWskazówki, dzięki którym uczestnicy odgadują cel i zmieniają zachowanie
2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Badanie pamięci wykorzystuje schemat z powtarzanym pomiarem, w którym każdy uczy się najpierw listy A, a potem listy B. Przypominanie jest lepsze dla listy B. Jaka jest najbardziej prawdopodobna wada?

  1. AUżycie porządkowego poziomu pomiaru
  2. BZbyt duża liczebność próby
  3. CRóżnice indywidualne między grupami
  4. DEfekty kolejności, np. praktyki, bo nie zrównoważono kolejności warunków
3.Statystyka opisowaŚredni
2025303540455055

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 58, 17, 16, 40, 21, 17, 24.

n = 7
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
z −2−1012

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 8. Wyznacz wynik z z dla wyniku 44.

μ = 60σ = 8x = 44
z =
5.PrawdopodobieństwoŚredni
czerwone: 7niebieskie: 5

W worku jest 7 kul czerwonych i 5 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?

7 / 5
P =
6.PrawdopodobieństwoTrudny
n = 9, p = 0,3: P(X ≤ 1) = ?k0123456789

Testuje się 9 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,3. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 9p = 0,3
P =
7.Rozkład normalnyŚredni
500548P = ?

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Jaka część wartości leży między 500 a 548 h? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 500σ = 40x1 = 500x2 = 548
P =
8.Rozkład normalnyTrudny
0,03 mm0D − d?

Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,03 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

otwór: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
9.Przedziały ufnościŚredni
n = 10, s = 3LU = ?x̄ = 104,5E99%

Próba 10 elementów ma średnią 104,5 i odchylenie standardowe s = 3. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 10x̄ = 104,5s = 399%t(9) = 3,25
górna granica =
10.Przedziały ufnościTrudny
μ₁ − μ₂, t(10) = 3,1690LU = ?x̄₁ − x̄₂E99%

Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 5 poletek, średni plon 70 kg, odchylenie standardowe 9,5 kg. Grupa poletek 2: 7 poletek, średnia 69,5 kg, odchylenie standardowe 9 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 70s₁ = 9,5n₂ = 7x̄₂ = 69,5s₂ = 999%t(10) = 3,169
górna granica = kg
11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
t −2,0302,03

Próba 36 studentów ma średni wynik 98,5 i odchylenie standardowe z próby 5. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 98,5s = 5n = 36
t =
12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 5α = 0,05βσ = 21, moc 95%, n = ?

Jednostronny test z na poziomie α = 0,05 ma wykryć przesunięcie średniej o 5 jednostek z mocą 95 %. Odchylenie standardowe wynosi 21. Wyznacz minimalną liczebność próby n.

α = 0,05moc = 95%δ = 5σ = 21zα = 1,645zβ = 1,645
n =
13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
xy15831783191052111523132xy152080100120

Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5Σx = 95Σy = 518Σx² = 1845Σy² = 55452Σxy = 10102
r =
14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
xy148258359467564xy245060x = 2,5

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (2,5, 60). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 5(2,5, 60)
e =
15.Testy chi-kwadratŚredni
niskiśredniwysokiSumamiasto10284280wieś11282160Suma215663140

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 1402 × 3
χ² =
16.Testy chi-kwadratTrudny

Test niezależności chi-kwadrat przeprowadza się na tabeli kontyngencji o 2 wierszach i 11 kolumnach (bez sum). Ile stopni swobody df ma test?

2 × 11
df =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: D · Wskazówki, dzięki którym uczestnicy odgadują cel i zmieniają zachowanie

Dlaczego to jest odpowiedź

Gdy uczestnicy domyślą się hipotezy, mogą działać tak, by ją potwierdzić lub podważyć, co zagraża trafności. Ogranicza to wprowadzanie w błąd i procedury ślepej próby.

Odpowiedź

D · Wskazówki, dzięki którym uczestnicy odgadują cel i zmieniają zachowanie
2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: D · Efekty kolejności, np. praktyki, bo nie zrównoważono kolejności warunków

Dlaczego to jest odpowiedź

Gdy wszyscy uczestnicy przechodzą warunki w tej samej kolejności, poprawa może odzwierciedlać praktykę, a nie listę. Kontroluje to równoważenie kolejności (ABBA albo połowa AB, połowa BA).

Odpowiedź

D · Efekty kolejności, np. praktyki, bo nie zrównoważono kolejności warunków
3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 15,78

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 193/7 = 27,57

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 30,43² + (−10,57)² + (−11,57)² + 12,43² + (−6,571)² + (−10,57)² + (−3,571)² = 1494

Odchylenie standardowe

s = √(1494/6) = 15,78

Odpowiedź

s = 15,78
4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = −2

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Standaryzuj

z = (44 − 60)/8 = −2

Odpowiedź

z = −2
5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,3182

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pierwsze i drugie losowanie

P = 7/12 · 6/11 = 42/132 = 0,3182

Odpowiedź

P = 0,3182
6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,196

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,79 = 0,04035
P(X = 1) = 9·0,3·0,78 = 0,1556

Dodaj

P = 0,04035 + 0,1556 = 0,196

Odpowiedź

P = 0,196
7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,3849

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (500 − 500)/40 = 0
z₂ = (548 − 500)/40 = 1,2

Pole pomiędzy

P = Φ(1,2) − Φ(0) = 0,8849 − 0,5 = 0,3849

Odpowiedź

P = 0,3849
8.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,8554

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład różnicy

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02828 mm

Standaryzuj

z = (0 − 0,03)/0,02828 = −1,06

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−1,06) = 0,8554

Odpowiedź

P = 0,8554
9.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 107,6

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 9, t = 3,25

Margines błędu

E = 3,25·3/√10 = 3,083

Przedział

104,5 ± 3,083 → [101,4, 107,6]

Odpowiedź

górna granica = 107,6
10.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 17,58 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Łączne odchylenie standardowe

sp² = (4·9,5² + 6·9²)/10 = 84,7
sp = 9,203

Margines błędu

E = 3,169·9,203·√(1/5 + 1/7) = 17,08

Przedział

0,5 ± 17,08 → [−16,58, 17,58]

Odpowiedź

górna granica = 17,58 kg
11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −1,8

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333

Statystyka testowa

t = (98,5 − 100)/0,8333 = −1,8

Odpowiedź

t = −1,8
t0,025; df = 35 = 2,03

|t| < 2.03, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 191

Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = ((1,645 + 1,645)·21/5)² = 190,9

Zaokrąglij w górę

n = 191

Odpowiedź

n = 191
13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9724

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

Sxy = 10102 − 95·518/5 = 260
Sxx = 1845 − 95²/5 = 40
Syy = 55452 − 518²/5 = 1787

Współczynnik korelacji

r = 260/√(40·1787) = 0,9724

Odpowiedź

r = 0,9724
14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = 2,85

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 296/5 = 59,2

Sumy kwadratów i iloczynów

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 41

Prosta regresji

b = 41/10 = 4,1
a = 59,2 − 4,1·3 = 46,9
ŷ = 46,9 + 4,1·x

Wartość przewidywana

ŷ = 46,9 + 4,1·2,5 = 57,15

Reszta

e = 60 − 57,15 = 2,85

Odpowiedź

e = 2,85

Punkt leży nad prostą.

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 4,278

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

miasto: 80·21/140 = 12, 80·56/140 = 32, 80·63/140 = 36
wieś: 60·21/140 = 9, 60·56/140 = 24, 60·63/140 = 27

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (10 − 12)²/12 + (28 − 32)²/32 + (42 − 36)²/36 + (11 − 9)²/9 + (28 − 24)²/24 + (21 − 27)²/27
χ² = 4,278

Odpowiedź

χ² = 4,278

df = 2. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 5,991, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): brak podstaw do odrzucenia.

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: df = 10

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Stopnie swobody

df = (2 − 1)·(11 − 1) = 10

Odpowiedź

df = 10

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology