Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Błąd standardowy średniej maleje, gdy:

AZmienna jest mierzona na poziomie porządkowym
BRośnie średnia
CMaleje liczebność próby
DRośnie liczebność próby

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Badanie raportuje t(28) = 2,50, p = .018 dla dwóch niezależnych grup równej wielkości. Ilu uczestników wzięło udział?

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 32, 28, 49, 36, 57, 17, 20.

n = 7

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 20. Wyznacz wynik z z dla wyniku 50.

μ = 70σ = 20x = 50

z =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

Na ile sposobów N można wybrać komisję 4 osób z grupy 9 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 9k = 4

N =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €1. Wygrywasz €5 z prawdopodobieństwem 0,25 i €50 z prawdopodobieństwem 0,01; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €1€5: p = 0,25€50: p = 0,01

E(G) = €

7.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,3829. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,3829

z =

8.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 90% wszystkich wartości (90. percentyl).

μ = 250σ = 5P = 90%

x = g

9.Przedziały ufnościŚredni

Próba 7 elementów ma średnią 77,5 i odchylenie standardowe s = 8. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 7x̄ = 77,5s = 899%t(6) = 3,707

dolna granica =

10.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 21. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1?

σ = 21E = 190%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 25 studentów ma średni wynik 96,4 i odchylenie standardowe z próby 10. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 96,4s = 10n = 25

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 81 pomiarów ma średnią 122,1. Odchylenie standardowe populacji wynosi 12. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 90 % dla średniej.

x̄ = 122,1σ = 12n = 8190%

L =

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6Σx = 21Σy = 109Σx² = 91Σy² = 2055Σxy = 348

r =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 50?

n = 5ŷ = 50

x =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 1002 × 2

χ² =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Test zgodności chi-kwadrat porównuje liczebności obserwowane w 9 kategoriach z w pełni określonymi oczekiwanymi udziałami (żadne parametry nie są estymowane z danych). Korzystając z tabeli, wyznacz wartość krytyczną χ²_crit na poziomie istotności α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: D · Rośnie liczebność próby

Dlaczego to jest odpowiedź

Błąd standardowy szacuje, jak bardzo średnie z prób wahają się wokół średniej w populacji. Większe próby dają dokładniejsze oszacowania.

Odpowiedź

D · Rośnie liczebność próby

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: D · 30

Dlaczego to jest odpowiedź

28 stopni swobody oznacza 28 + 2 = 30 uczestników, po 15 w każdej grupie.

Odpowiedź

D · 30

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 14,62

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 239/7 = 34,14

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−2,143)² + (−6,143)² + 14,86² + 1,857² + 22,86² + (−17,14)² + (−14,14)² = 1283

Odchylenie standardowe

s = √(1283/6) = 14,62

Odpowiedź

s = 14,62

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = −1

Standaryzuj

z = (50 − 70)/20 = −1

Odpowiedź

z = −1

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 126

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(9, 4) = (9·8·7·6)/(4·3·2·1) = 126

Odpowiedź

N = 126

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = 0,75 €

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Wyniki netto

G: 4 (p = 0,25), 49 (p = 0,01), −1 (p = 0,74)

Wartość oczekiwana

E(G) = 4·0,25 + 49·0,01 − 1·0,74 = 0,75 €

Odpowiedź

E(G) = 0,75 €

Wartość dodatnia oznacza, że średnio wygrywasz pieniądze.

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 0,5

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = (1 + 0,3829)/2 = 0,6915

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,6915 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 0,50

Odpowiedź

z = 0,50

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 256,4 g

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

z dla percentyla

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Powrót do x

x = 250 + 1,282·5 = 256,41 g

Odpowiedź

x = 256,41 g

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 66,29

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 6, t = 3,707

Margines błędu

E = 3,707·8/√7 = 11,21

Przedział

77,5 ± 11,21 → [66,29, 88,71]

Odpowiedź

dolna granica = 66,29

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 1194

Wyznacz n

n = (1,645·21/1)² = 1193

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 1194

Odpowiedź

n = 1194

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −1,8

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

Statystyka testowa

t = (96,4 − 100)/2 = −1,8

Odpowiedź

t = −1,8

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: L = 119,9

Margines błędu

E = 1,645·12/√81 = 2,193

Granica przedziału

L = 122,1 − 2,193 = 119,9

Odpowiedź

L = 119,9

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = −0,9257

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 348 − 21·109/6 = −33,5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 2055 − 109²/6 = 74,83

Współczynnik korelacji

r = −33,5/√(17,5·74,83) = −0,9257

Odpowiedź

r = −0,9257

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 8,143

Średnie

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 240/5 = 48

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 70

Prosta regresji

b = 70/40 = 1,75

a = 48 − 1,75·7 = 35,75

ŷ = 35,75 + 1,75·x

Wyznacz x

x = (50 − 35,75)/1,75 = 8,143

Odpowiedź

x = 8,143

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 2,694

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

mężczyźni: 40·45/100 = 18, 40·55/100 = 22

kobiety: 60·45/100 = 27, 60·55/100 = 33

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (14 − 18)²/18 + (26 − 22)²/22 + (31 − 27)²/27 + (29 − 33)²/33

χ² = 2,694

Odpowiedź

χ² = 2,694

df = 1. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 3,841, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): brak podstaw do odrzucenia.

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ²_crit = 15,51

Stopnie swobody

df = 9 − 1 = 8

Tabela

χ²_crit(df = 8, α = 0,05) = 15,507

Odpowiedź

χ²_crit = 15,507

Odrzuć H₀, jeśli obliczone χ² jest większe od tej wartości.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology