Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Badacz wysyła kwestionariusz do wszystkich studentów, a następnie prosi respondentów o zrekrutowanie znajomych, którzy też korzystają z rzadkiej aplikacji do snu. Jaką metodę doboru zastosowano w drugim kroku?

ADobór systematyczny
BLosowy dobór próby
CDobór warstwowy
DMetodę kuli śnieżnej

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

W analizie tematycznej analityk przede wszystkim:

AIdentyfikuje powtarzające się wzorce znaczeń w danych jakościowych
BTestuje hipotezę liczbową
CLiczy wyłącznie częstość słów
DOblicza średni wynik dla każdego tematu, aby porównać je statystycznie

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 36, 24, 53, 56, 48, 53.

n = 6

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 10. Jaka część P wartości leży poniżej 110?

μ = 100σ = 10x = 110

P =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

Na ile sposobów N można wybrać komisję 2 osób z grupy 12 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 12k = 2

N =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 8 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,25, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 3 poprawnych odpowiedzi?

n = 8p = 0,25k = 3

P =

7.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Jaka część wartości leży między 422 a 540 h? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 500σ = 40x₁ = 422x₂ = 540

P =

8.Rozkład normalnyTrudny

Wzrost X mężczyzn i wzrost Y kobiet w grupie są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 180 cm i odchylenie standardowe 10 cm, Y ma średnią 170 cm i odchylenie standardowe 12 cm. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

9.Przedziały ufnościŚredni

U 20 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią 5,5 i odchylenie standardowe 2,2. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99 % dla średniej różnicy.

n = 20d̄ = 5,5s_d = 2,299%t(19) = 2,861

dolna granica = mmHg

10.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 27. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5?

σ = 27E = 1,595%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 36 studentów ma średni wynik 71,5 i odchylenie standardowe z próby 15. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 71,5s = 15n = 36

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 90 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 3? Odchylenie standardowe wynosi 5. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.

σ = 5E = 390%

n =

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6

r =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 1,5.

n = 5x = 1,5

ŷ =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 1402 × 2

χ² =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Tabela pokazuje liczebności obserwowane. Sprawdź na poziomie α = 0,01, czy obie zmienne są niezależne (bez poprawki na ciągłość). Oblicz statystykę testową χ², a potem porównaj ją z wartością krytyczną z tabeli.

N = 2403 × 2α = 0,01

χ² =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: D · Metodę kuli śnieżnej

Dlaczego to jest odpowiedź

Metoda kuli śnieżnej przydaje się przy grupach trudno dostępnych, ale próba prawdopodobnie ma wspólne cechy i nie jest reprezentatywna.

Odpowiedź

D · Metodę kuli śnieżnej

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: A · Identyfikuje powtarzające się wzorce znaczeń w danych jakościowych

Dlaczego to jest odpowiedź

Analiza tematyczna obejmuje zapoznanie się z danymi, kodowanie, wyłanianie, przegląd i nazywanie tematów oraz raport; skupia się na znaczeniu, a nie na statystyce.

Odpowiedź

A · Identyfikuje powtarzające się wzorce znaczeń w danych jakościowych

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 12,49

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 270/6 = 45

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−9)² + (−21)² + 8² + 11² + 3² + 8² = 780

Odchylenie standardowe

s = √(780/5) = 12,49

Odpowiedź

s = 12,49

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,8413

Standaryzuj

z = 1

Tablica rozkładu normalnego

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

Odpowiedź

P = 0,8413

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 66

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(12, 2) = (12·11)/(2·1) = 66

Odpowiedź

N = 66

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,2076

Wzór dwumianowy

P(X = 3) = 56·0,25³·0,75⁵ = 56·0,01563·0,2373 = 0,2076

Odpowiedź

P = 0,2076

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,8158

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (422 − 500)/40 = −1,95

z₂ = (540 − 500)/40 = 1

Pole pomiędzy

P = Φ(1) − Φ(−1,95) = 0,8413 − 0,02559 = 0,8158

Odpowiedź

P = 0,8158

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,7389

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład różnicy

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Standaryzuj

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Odpowiedź

P = 0,7389

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 4,093 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Wartość krytyczna

df = 19, t = 2,861

Margines błędu

E = 2,861·2,2/√20 = 1,407

Przedział

5,5 ± 1,407 → [4,093, 6,907]

Odpowiedź

dolna granica = 4,093 mmHg

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 1245

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = (1,96·27/1,5)² = 1245

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 1245

Odpowiedź

n = 1245

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −1,4

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5

Statystyka testowa

t = (71,5 − 75)/2,5 = −1,4

Odpowiedź

t = −1,4

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 8

Wyznacz n

n = (1,645·5/3)² = 7,517

Zaokrąglij w górę

n = 8

Odpowiedź

n = 8

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = −0,8393

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 123/6 = 20,5

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 37,5

Współczynnik korelacji

r = −21,5/√(17,5·37,5) = −0,8393

Odpowiedź

r = −0,8393

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 22,4

Średnie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 100/5 = 20

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −16

Prosta regresji

b = −16/10 = −1,6

a = 20 − (−1,6)·3 = 24,8

ŷ = 24,8 − 1,6·x

Prognoza

ŷ = 24,8 + (−1,6)·1,5 = 22,4

Odpowiedź

ŷ = 22,4

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 0,1215

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

palący: 60·56/140 = 24, 60·84/140 = 36

niepalący: 80·56/140 = 32, 80·84/140 = 48

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (25 − 24)²/24 + (35 − 36)²/36 + (31 − 32)²/32 + (49 − 48)²/48

χ² = 0,1215

Odpowiedź

χ² = 0,1215

df = 1. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 3,841, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): brak podstaw do odrzucenia.

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 48,31

Liczebności oczekiwane

linia 1: 60, 40

linia 2: 24, 16

linia 3: 60, 40

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (41 − 60)²/60 + (59 − 40)²/40 + (17 − 24)²/24 + (23 − 16)²/16 + (86 − 60)²/60 + (14 − 40)²/40

χ² = 48,31

Decyzja

df = 2, χ²_crit = 9,210

48,31 > 9,210

Odpowiedź

χ² = 48,31

χ² jest większe od wartości krytycznej, więc H₀ zostaje odrzucona: zmienne wydają się powiązane.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology