Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Aby uzyskać próbę z takimi samymi proporcjami studentów pierwszego, drugiego i trzeciego roku jak w populacji uczelni, badacz powinien zastosować:

ADobór okazjonalny
BMetodę kuli śnieżnej
CDobór ochotników
DDobór warstwowy

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Dlaczego wielu badaczy twierdzi, że wartości p należy raportować razem z wielkościami efektu i przedziałami ufności?

APrzedziały ufności są potrzebne tylko w badaniach jakościowych
BWielkości efektu sprawiają, że liczebność próby jest bez znaczenia dla istotności
CWartość p nie pokazuje, jak duży ani jak precyzyjnie oszacowany jest efekt
DWartości p pokazują prawdopodobieństwo, że hipoteza jest prawdziwa

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 11, 32, 29, 46, 44.

n = 5

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 5. Jaka część P wartości leży powyżej 176,3?

μ = 170σ = 5x = 176,3

P =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

Uczciwą kostką rzucamy 7 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?

n = 7

P =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 5 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,5. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 5p = 0,5

P =

7.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,6517. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,6517

z =

8.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów dostawy jest normalny ze średnią 32 min i odchyleniem standardowym 6 min. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 75% wszystkich wartości (75. percentyl).

μ = 32σ = 6P = 75%

x = min

9.Przedziały ufnościŚredni

Próba 25 elementów ma średnią 101 i odchylenie standardowe s = 16. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 25x̄ = 101s = 1699%t(24) = 2,797

E =

10.Przedziały ufnościTrudny

Średnice 15 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 7,3 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: dolna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 14 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 5,629, a 2,5 % powyżej 26,119.

n = 15s = 7,3 µmχ² = 5,629, 26,119

σ = µm

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 16 studentów ma średni wynik 48,6 i odchylenie standardowe z próby 4. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 48,6s = 4n = 16

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z na poziomie α = 0,01 ma wykryć przesunięcie średniej o 3 jednostek z mocą 90 %. Odchylenie standardowe wynosi 10. Wyznacz minimalną liczebność próby n.

α = 0,01moc = 90%δ = 3σ = 10z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 6

r² =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 9.

n = 6x = 9

ŷ =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. W teście niezależności chi-kwadrat wyznacz liczebność oczekiwaną E dla komórki „studenci, autobus”.

suma wiersza = 92suma kolumny = 67N = 152

E =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Test zgodności chi-kwadrat sprawdza, czy liczebności w 8 kategoriach mają rozkład Poissona, którego średnią estymuje się z tych samych danych. Ile stopni swobody df ma test?

k = 8

df =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: D · Dobór warstwowy

Dlaczego to jest odpowiedź

Dobór warstwowy wyodrębnia podgrupy (warstwy) i losuje z każdej proporcjonalnie do jej wielkości w populacji, co czyni próbę bardziej reprezentatywną.

Odpowiedź

D · Dobór warstwowy

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: C · Wartość p nie pokazuje, jak duży ani jak precyzyjnie oszacowany jest efekt

Dlaczego to jest odpowiedź

Wartość p silnie zależy od liczebności próby i wskazuje tylko, jak zaskakujące są dane przy hipotezie zerowej. Wielkości efektu pokazują rozmiar, a przedziały – precyzję.

Odpowiedź

C · Wartość p nie pokazuje, jak duży ani jak precyzyjnie oszacowany jest efekt

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 14,05

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 162/5 = 32,4

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−21,4)² + (−0,4)² + (−3,4)² + 13,6² + 11,6² = 789,2

Odchylenie standardowe

s = √(789,2/4) = 14,05

Odpowiedź

s = 14,05

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,1056

Standaryzuj

z = 1,25

Tablica rozkładu normalnego

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Odpowiedź

P = 0,1056

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,7209

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zdarzenie przeciwne

P(brak szóstki) = (5/6)⁷ = 0,2791

P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Odpowiedź

P = 0,7209

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,1875

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,5⁵ = 0,03125

P(X = 1) = 5·0,5·0,5⁴ = 0,1563

Dodaj

P = 0,03125 + 0,1563 = 0,1875

Odpowiedź

P = 0,1875

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = −0,39

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = 1 − 0,6517 = 0,3483

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,3483 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = −0,39

Odpowiedź

z = −0,39

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 36,05 min

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

z dla percentyla

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Powrót do x

x = 32 + 0,6745·6 = 36,05 min

Odpowiedź

x = 36,05 min

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 8,95

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 24, t = 2,797

Margines błędu

E = 2,797·16/√25 = 8,95

Odpowiedź

E = 8,95

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: σ = 5,345 µm

Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.

Suma kwadratów

(n − 1)s² = 14·7,3² = 746,1

Granice dla σ²

746,1/26,119 = 28,56

746,1/5,629 = 132,5

Granica dla σ

σ = √28,56 = 5,345 µm

Odpowiedź

σ = 5,345 µm

Przedział 95 % dla σ: [5,345, 11,51] µm.

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −1,4

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 4/√16 = 4/4 = 1

Statystyka testowa

t = (48,6 − 50)/1 = −1,4

Odpowiedź

t = −1,4

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 145

Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = ((2,326 + 1,282)·10/3)² = 144,6

Zaokrąglij w górę

n = 145

Odpowiedź

n = 145

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9555

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 273/6 = 45,5

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 223

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 743,5

Współczynnik determinacji

r² = 223²/(70·743,5) = 0,9555

Odpowiedź

r² = 0,9555

Około 95,55% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 29,49

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 144/6 = 24

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 192

Prosta regresji

b = 192/70 = 2,743

a = 24 − 2,743·7 = 4,8

ŷ = 4,8 + 2,743·x

Prognoza

ŷ = 4,8 + 2,743·9 = 29,49

Odpowiedź

ŷ = 29,49

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: E = 40,55

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebność oczekiwana

E = 92·67/152 = 40,55

Odpowiedź

E = 40,55

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: df = 6

Stopnie swobody

df = 8 − 1 − 1 = 6

Odpowiedź

df = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology