Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne
P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Rozkład normalny

Wynik z
z = (x − μ)/σ
Poniżej x
P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentyl
x = μ + z·σ

Metoda

  1. Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
  2. Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
  3. Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
  4. Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

  1. Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
  2. Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
  3. Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
  4. Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n

Metoda

  1. Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
  2. Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
  3. Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
  4. Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy
b = Sxy/Sxx
Wyraz wolny
a = ȳ − b·x̄
Korelacja
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reszta
e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa
χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja
odrzuć H0, jeśli χ² > χ²crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Operacjonalizacja oznacza:

  1. AZdefiniowanie zmiennych w precyzyjny, mierzalny sposób
  2. BPrzeprowadzenie badania w rzeczywistych warunkach funkcjonowania, np. w szpitalu
  3. CWybór testu statystycznego
  4. DUdzielenie instrukcji uczestnikom
2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Badacz manipuluje nastrojem, pokazując smutny film, a następnie przed zadaniem głównym prosi uczestników o ocenę, jak bardzo są smutni. Po co włączono tę ocenę?

  1. ABy przeprowadzić z uczestnikami debriefing o celach
  2. BBy zrównoważyć kolejność warunków
  3. CJako sprawdzenie manipulacji, by potwierdzić, że ZN zadziałała zgodnie z zamierzeniem
  4. DJako główną zmienną zależną badania
3.Statystyka opisowaŚredni
20253035404550

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 34, 20, 21, 53, 39, 41, 47.

n = 7
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
z −2−1012

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 20. Wyznacz wynik z z dla wyniku 26.

μ = 50σ = 20x = 26
z =
5.PrawdopodobieństwoŚredni
n = 8k = 2N = ?

Na ile sposobów N można wybrać komisję 2 osób z grupy 8 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 8k = 2
N =
6.PrawdopodobieństwoTrudny
n = 7, p = 0,5: P(X = 1) = ?k01234567

Test ma 7 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,5, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 1 poprawnych odpowiedzi?

n = 7p = 0,5k = 1
P =
7.Rozkład normalnyŚredni
242,5255P = ?

Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Jaka część wartości leży między 242,5 a 255 g? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 250σ = 5x1 = 242,5x2 = 255
P =
8.Rozkład normalnyTrudny
35455565758595pktdół 40%

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 40% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 65 pktσ = 10 pkt40%
x = pkt
9.Przedziały ufnościŚredni
μ₁ − μ₂0LUx̄₁ − x̄₂E = ?95%

Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 100 telefonów, średnia 76 h, znane odchylenie standardowe 16 h. Model 2: 60 telefonów, średnia 68 h, znane odchylenie standardowe 20 h. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 95 % dla μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 76 hσ₁ = 16 hn₂ = 60x̄₂ = 68 hσ₂ = 20 h95%
E = h
10.Przedziały ufnościTrudny
σ = 36, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 495%

Odchylenie standardowe populacji wynosi 36. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 4?

σ = 36E = 495%
n =
11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
t −2,06402,064

Próba 25 studentów ma średni wynik 86,6 i odchylenie standardowe z próby 20. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 86,6s = 20n = 25
t =
12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
−1,961,96z = ?

W badaniu klinicznym wyzdrowiało 70 z 200 pacjentów leczonych metodą A i 28 z 120 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 70n₁ = 200x₂ = 28n₂ = 120
z =
13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
xy128225320419513xy24152025

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 5
r² =
14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
xy3385437519551164xy510405060ŷ = 60

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 60?

n = 5ŷ = 60
x =
15.Testy chi-kwadratŚredni
kaszelbrak kaszluSumapalący223860niepalący263460Suma4872120

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 1202 × 2
χ² =
16.Testy chi-kwadratTrudny
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Test zgodności chi-kwadrat sprawdza, czy liczebności w 7 kategoriach mają rozkład Poissona, którego średnią estymuje się z tych samych danych. Korzystając z tabeli, wyznacz wartość krytyczną χ²crit na poziomie istotności α = 0,05.

α = 0,05
χ²crit =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: A · Zdefiniowanie zmiennych w precyzyjny, mierzalny sposób

Dlaczego to jest odpowiedź

Operacjonalizacja zmienia abstrakcyjne pojęcia w konkretne pomiary, dzięki czemu badanie można powtórzyć.

Odpowiedź

A · Zdefiniowanie zmiennych w precyzyjny, mierzalny sposób
2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: C · Jako sprawdzenie manipulacji, by potwierdzić, że ZN zadziałała zgodnie z zamierzeniem

Dlaczego to jest odpowiedź

Sprawdzenie manipulacji weryfikuje, czy ZN wywołała zamierzony stan psychiczny. Bez niego wynik zerowy mógłby oznaczać, że manipulacja się nie udała.

Odpowiedź

C · Jako sprawdzenie manipulacji, by potwierdzić, że ZN zadziałała zgodnie z zamierzeniem
3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 12,43

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 255/7 = 36,43

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−2,429)² + (−16,43)² + (−15,43)² + 16,57² + 2,571² + 4,571² + 10,57² = 927,7

Odchylenie standardowe

s = √(927,7/6) = 12,43

Odpowiedź

s = 12,43
4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = −1,2

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Standaryzuj

z = (26 − 50)/20 = −1,2

Odpowiedź

z = −1,2
5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 28

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(8, 2) = (8·7)/(2·1) = 28

Odpowiedź

N = 28
6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,05469

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Wzór dwumianowy

P(X = 1) = 7·0,51·0,56 = 7·0,5·0,01563 = 0,05469

Odpowiedź

P = 0,05469
7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,7745

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (242,5 − 250)/5 = −1,5
z₂ = (255 − 250)/5 = 1

Pole pomiędzy

P = Φ(1) − Φ(−1,5) = 0,8413 − 0,06681 = 0,7745

Odpowiedź

P = 0,7745
8.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 62,5 pkt

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,4

z z tablicy

z ≈ −0,25

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 65 − 0,25·10 = 62,5 pkt

Odpowiedź

x = 62,5 pkt
9.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 5,954 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estymator punktowy

x̄₁ − x̄₂ = 76 − 68 = 8

Błąd standardowy

SE = √(16²/100 + 20²/60) = 3,038

Margines błędu

E = 1,96·3,038 = 5,954

Odpowiedź

E = 5,954 h

Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 312

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = (1,96·36/4)² = 311,2

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 312

Odpowiedź

n = 312
11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 2,9

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 20/√25 = 20/5 = 4

Statystyka testowa

t = (86,6 − 75)/4 = 2,9

Odpowiedź

t = 2,9
t0,025; df = 24 = 2,064

|t| > 2,064, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = 2,192

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Frakcje z prób

p̂₁ = 70/200 = 0,35
p̂₂ = 28/120 = 0,2333
p̂ = 98/320 = 0,3063

Błąd standardowy przy H₀

SE = √(0,3063·0,6937·(1/200 + 1/120)) = 0,05322

Statystyka testowa

z = (0,35 − 0,2333)/0,05322 = 2,192

Odpowiedź

z = 2,192

|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9672

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 105/5 = 21

Sumy kwadratów i iloczynów

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −36
Syy = Σ(y − ȳ)² = 134

Współczynnik determinacji

r² = −36²/(10·134) = 0,9672

Odpowiedź

r² = 0,9672

Około 96,72% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 10,06

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 251/5 = 50,2

Sumy kwadratów i iloczynów

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128

Prosta regresji

b = 128/40 = 3,2
a = 50,2 − 3,2·7 = 27,8
ŷ = 27,8 + 3,2·x

Wyznacz x

x = (60 − 27,8)/3,2 = 10,06

Odpowiedź

x = 10,06
15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 0,5556

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

palący: 60·48/120 = 24, 60·72/120 = 36
niepalący: 60·48/120 = 24, 60·72/120 = 36

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (22 − 24)²/24 + (38 − 36)²/36 + (26 − 24)²/24 + (34 − 36)²/36
χ² = 0,5556

Odpowiedź

χ² = 0,5556

df = 1. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 3,841, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): brak podstaw do odrzucenia.

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ²crit = 11,07

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Stopnie swobody

df = 7 − 1 − 1 = 5

Tabela

χ²crit(df = 5, α = 0,05) = 11,070

Odpowiedź

χ²crit = 11,070

Odrzuć H₀, jeśli obliczone χ² jest większe od tej wartości.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology