Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Badacz bada wpływ płci na wyniki testu pamięci. Dlaczego jest to quasi-eksperyment, a nie prawdziwy eksperyment?

ABadanie odbywa się w laboratorium
BSą tylko dwa warunki, a prawdziwy eksperyment wymaga co najmniej trzech poziomów zmiennej niezależnej
CZZ nie jest mierzona
DZN to cecha istniejąca wcześniej, więc nie można losowo przydzielić do niej uczestników

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

W badaniach jakościowych refleksyjność oznacza, że badacz:

AUżywa próby losowej, by usunąć obciążenia
BPowtarza badanie, by sprawdzić rzetelność
CZastanawia się, jak jego własne doświadczenia i założenia mogą kształtować analizę
DPrzekształca tematy w dane liczbowe

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 15, 17, 39, 51, 60.

n = 5

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 12. Jaka część P wartości leży powyżej 164?

μ = 170σ = 12x = 164

P =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

Na ile sposobów N można wybrać komisję 5 osób z grupy 8 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 8k = 5

N =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €1. Wygrywasz €5 z prawdopodobieństwem 0,15 i €50 z prawdopodobieństwem 0,02; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €1€5: p = 0,15€50: p = 0,02

E(G) = €

7.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Jaka część wartości leży między 490 a 510 h? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 500σ = 40x₁ = 490x₂ = 510

P =

8.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 80% wszystkich wartości (80. percentyl).

μ = 100σ = 15P = 80%

x = pkt

9.Przedziały ufnościŚredni

U 12 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią 8,2 i odchylenie standardowe 1,8. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99 % dla średniej różnicy.

n = 12d̄ = 8,2s_d = 1,899%t(11) = 3,106

E = mmHg

10.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 26. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1?

σ = 26E = 190%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 14 uczniów, średni wynik 63, odchylenie standardowe 4,5. Grupa 2: 12 uczniów, średni wynik 57,6, odchylenie standardowe 6,5. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).

n₁ = 14x̄₁ = 63s₁ = 4,5n₂ = 12x̄₂ = 57,6s₂ = 6,5

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 95 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2,5? Odchylenie standardowe wynosi 20. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.

σ = 20E = 2,595%

n =

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 6

r² =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (6, 70). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 6(6, 70)

e =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. W teście niezależności chi-kwadrat wyznacz liczebność oczekiwaną E dla komórki „studenci, rower”.

suma wiersza = 95suma kolumny = 77N = 191

E =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Test zgodności chi-kwadrat sprawdza, czy liczebności w 4 kategoriach mają rozkład Poissona, którego średnią estymuje się z tych samych danych. Korzystając z tabeli, wyznacz wartość krytyczną χ²_crit na poziomie istotności α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: D · ZN to cecha istniejąca wcześniej, więc nie można losowo przydzielić do niej uczestników

Dlaczego to jest odpowiedź

W quasi-eksperymencie ZN to naturalnie występująca różnica między ludźmi. Bez losowego przydziału inne różnice między grupami mogą zakłócać wyniki.

Odpowiedź

D · ZN to cecha istniejąca wcześniej, więc nie można losowo przydzielić do niej uczestników

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: C · Zastanawia się, jak jego własne doświadczenia i założenia mogą kształtować analizę

Dlaczego to jest odpowiedź

Refleksyjność uznaje wpływ badacza na zbieranie i interpretację danych i jest kluczowym kryterium jakości w pracy jakościowej.

Odpowiedź

C · Zastanawia się, jak jego własne doświadczenia i założenia mogą kształtować analizę

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 20,07

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 182/5 = 36,4

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−21,4)² + (−19,4)² + 2,6² + 14,6² + 23,6² = 1611

Odchylenie standardowe

s = √(1611/4) = 20,07

Odpowiedź

s = 20,07

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,6915

Standaryzuj

z = −0,5

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Odpowiedź

P = 0,6915

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 56

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(8, 5) = (8·7·6·5·4)/(5·4·3·2·1) = 56

Odpowiedź

N = 56

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = 0,75 €

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Wyniki netto

G: 4 (p = 0,15), 49 (p = 0,02), −1 (p = 0,83)

Wartość oczekiwana

E(G) = 4·0,15 + 49·0,02 − 1·0,83 = 0,75 €

Odpowiedź

E(G) = 0,75 €

Wartość dodatnia oznacza, że średnio wygrywasz pieniądze.

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,1974

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (490 − 500)/40 = −0,25

z₂ = (510 − 500)/40 = 0,25

Pole pomiędzy

P = Φ(0,25) − Φ(−0,25) = 0,5987 − 0,4013 = 0,1974

Odpowiedź

P = 0,1974

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 112,6 pkt

z dla percentyla

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Powrót do x

x = 100 + 0,8416·15 = 112,62 pkt

Odpowiedź

x = 112,62 pkt

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 1,614 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Wartość krytyczna

df = 11, t = 3,106

Margines błędu

E = 3,106·1,8/√12 = 1,614

Odpowiedź

E = 1,614 mmHg

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 1830

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = (1,645·26/1)² = 1829

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 1830

Odpowiedź

n = 1830

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 2,492

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Wariancja łączna

s_p² = (13·4,5² + 11·6,5²)/24 = 30,33

s_p = 5,508

Błąd standardowy

SE = 5,508·√(1/14 + 1/12) = 2,167

Statystyka testowa

t = (63 − 57,6)/2,167 = 2,492

Odpowiedź

t = 2,492

Przy df = 24 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,064; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 246

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Wyznacz n

n = (1,96·20/2,5)² = 245,9

Zaokrąglij w górę

n = 246

Odpowiedź

n = 246

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9979

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 432/6 = 72

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 145

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1204

Współczynnik determinacji

r² = 145²/(17,5·1204) = 0,9979

Odpowiedź

r² = 0,9979

Około 99,79% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = 5,5

Średnie

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 453/6 = 75,5

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 385

Prosta regresji

b = 385/70 = 5,5

a = 75,5 − 5,5·8 = 31,5

ŷ = 31,5 + 5,5·x

Wartość przewidywana

ŷ = 31,5 + 5,5·6 = 64,5

Reszta

e = 70 − 64,5 = 5,5

Odpowiedź

e = 5,5

Punkt leży nad prostą.

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: E = 38,3

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebność oczekiwana

E = 95·77/191 = 38,3

Odpowiedź

E = 38,3

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ²_crit = 9,21

Stopnie swobody

df = 4 − 1 − 1 = 2

Tabela

χ²_crit(df = 2, α = 0,01) = 9,210

Odpowiedź

χ²_crit = 9,210

Odrzuć H₀, jeśli obliczone χ² jest większe od tej wartości.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology