Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Charakterystyki żądania (demand characteristics) to:

AStatystyczne założenia testu
BWskazówki, dzięki którym uczestnicy odgadują cel i zmieniają zachowanie
CFormalne wymagania, jakie komisja etyczna stawia przed rozpoczęciem badania
DCechy próby

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Badanie pokazuje, że studenci, którzy więcej śpią, mają lepsze oceny. Jaka zmiana planu najlepiej pozwoliłaby na wniosek przyczynowy?

ADokładniejszy pomiar ocen
BLosowy przydział studentów do różnych planów snu
CDwukrotne raportowanie snu przez studentów i uśrednienie obu raportów
DPrzebadanie większej liczby studentów

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 59, 50, 38, 20, 14, 24.

n = 6

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 15. Jaka część P wartości leży poniżej 55?

μ = 70σ = 15x = 55

P =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

Uczciwą kostką rzucamy 6 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?

n = 6

P =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = 2X + 5. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,35, 0,05, 0,05, 0,3Y = 2X + 5

σ_Y =

7.Rozkład normalnyŚredni

X ma rozkład normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 4 g; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 500 g i odchyleniem standardowym 9 g. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 757,9 g. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 757,9 g

P =

8.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 20% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 500 hσ = 40 h20%

x = h

9.Przedziały ufnościŚredni

Próba 25 elementów ma średnią 20 i odchylenie standardowe s = 4. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 25x̄ = 20s = 499%t(24) = 2,797

E =

10.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 31. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 3?

σ = 31E = 399%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 6 uczniów, średni wynik 41, odchylenie standardowe 10,5. Grupa 2: 6 uczniów, średni wynik 37,9, odchylenie standardowe 2,5. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).

n₁ = 6x̄₁ = 41s₁ = 10,5n₂ = 6x̄₂ = 37,9s₂ = 2,5

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

W badaniu klinicznym wyzdrowiało 60 z 120 pacjentów leczonych metodą A i 126 z 200 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 60n₁ = 120x₂ = 126n₂ = 200

z =

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 6

r² =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 13?

n = 5ŷ = 13

x =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. W teście niezależności chi-kwadrat wyznacz liczebność oczekiwaną E dla komórki „wieś, wysoki”.

suma wiersza = 71suma kolumny = 51N = 155

E =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Test niezależności chi-kwadrat przeprowadza się na tabeli kontyngencji o 2 wierszach i 2 kolumnach (bez sum). Ile stopni swobody df ma test?

2 × 2

df =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: B · Wskazówki, dzięki którym uczestnicy odgadują cel i zmieniają zachowanie

Dlaczego to jest odpowiedź

Gdy uczestnicy domyślą się hipotezy, mogą działać tak, by ją potwierdzić lub podważyć, co zagraża trafności. Ogranicza to wprowadzanie w błąd i procedury ślepej próby.

Odpowiedź

B · Wskazówki, dzięki którym uczestnicy odgadują cel i zmieniają zachowanie

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: B · Losowy przydział studentów do różnych planów snu

Dlaczego to jest odpowiedź

Tylko manipulowanie snem z losowym przydziałem kontroluje zmienne trzecie i pozwala na wnioskowanie przyczynowe, w granicach etyki.

Odpowiedź

B · Losowy przydział studentów do różnych planów snu

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 17,85

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 205/6 = 34,17

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 24,83² + 15,83² + 3,833² + (−14,17)² + (−20,17)² + (−10,17)² = 1593

Odchylenie standardowe

s = √(1593/5) = 17,85

Odpowiedź

s = 17,85

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,1587

Standaryzuj

z = −1

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Odpowiedź

P = 0,1587

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,6651

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zdarzenie przeciwne

P(brak szóstki) = (5/6)⁶ = 0,3349

P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Odpowiedź

P = 0,6651

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 3,2

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Rozrzut X

μ = 2,8, Var(X) = 2,56, σ_X = 1,6

Zmiana liniowa

σ_Y = |2|·1,6 = 3,2

Odpowiedź

σ_Y = 3,2

Średnia się przesuwa: E(Y) = 2·2,8 + 5 = 10,6.

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,2119

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standaryzuj

z = (757,9 − 750)/9,849 = 0,8

Górny ogon

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Odpowiedź

P = 0,2119

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 534 h

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,8

z z tablicy

z ≈ 0,84

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 500 + 0,84·40 = 534 h

Odpowiedź

x = 534 h

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 2,238

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 24, t = 2,797

Margines błędu

E = 2,797·4/√25 = 2,238

Odpowiedź

E = 2,238

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 709

Wyznacz n

n = (2,576·31/3)² = 708,6

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 709

Odpowiedź

n = 709

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 0,7035

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Wariancja łączna

s_p² = (5·10,5² + 5·2,5²)/10 = 58,25

s_p = 7,632

Błąd standardowy

SE = 7,632·√(1/6 + 1/6) = 4,406

Statystyka testowa

t = (41 − 37,9)/4,406 = 0,7035

Odpowiedź

t = 0,7035

Przy df = 10 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,228; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = −2,282

Frakcje z prób

p̂₁ = 60/120 = 0,5

p̂₂ = 126/200 = 0,63

p̂ = 186/320 = 0,5813

Błąd standardowy przy H₀

SE = √(0,5813·0,4187·(1/120 + 1/200)) = 0,05697

Statystyka testowa

z = (0,5 − 0,63)/0,05697 = −2,282

Odpowiedź

z = −2,282

|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9069

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 140/6 = 23,33

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 33,33

Współczynnik determinacji

r² = −23²/(17,5·33,33) = 0,9069

Odpowiedź

r² = 0,9069

Około 90,69% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 6,941

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 57/5 = 11,4

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 68

Prosta regresji

b = 68/40 = 1,7

a = 11,4 − 1,7·6 = 1,2

ŷ = 1,2 + 1,7·x

Wyznacz x

x = (13 − 1,2)/1,7 = 6,941

Odpowiedź

x = 6,941

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: E = 23,36

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebność oczekiwana

E = 71·51/155 = 23,36

Odpowiedź

E = 23,36

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: df = 1

Stopnie swobody

df = (2 − 1)·(2 − 1) = 1

Odpowiedź

df = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology