Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

95-procentowy przedział ufności dla średniej równej 50 wynosi od 46 do 54. Jaka interpretacja jest najtrafniejsza?

AIstnieje 95% szans, że średnia z próby wynosi 50
BWynik nie jest istotny
CZastosowana procedura daje przedziały, które w 95% przypadków zawierają prawdziwą średnią
D95% indywidualnych uczestników w próbie uzyskało w tej mierze wyniki od 46 do 54

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Skala samoopisowa wykazuje, że osoby zgadzające się z wieloma stwierdzeniami uzyskują wysokie wyniki niezależnie od treści. Jakie to obciążenie odpowiedzi i jak można je ograniczyć?

AEfekty kolejności; zrównoważyć kolejność uczestników
BTendencja do potakiwania; włączyć pozycje odwrócone
CObciążenie aprobatą społeczną; użyć większej próby
DCharakterystyki żądań; zastosować schemat podwójnie ślepy

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 20, 29, 20, 29, 57, 59, 21.

n = 7

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 5. Wyznacz wynik z z dla wyniku 54.

μ = 60σ = 5x = 54

z =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

W worku jest 4 kul czerwonych i 9 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?

4 / 9

P =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 11 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,2, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 4 poprawnych odpowiedzi?

n = 11p = 0,2k = 4

P =

7.Rozkład normalnyŚredni

X ma rozkład normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 4 g; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 500 g i odchyleniem standardowym 9 g. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 757,9 g. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 757,9 g

P =

8.Rozkład normalnyTrudny

Czas okrążenia X biegacza A i czas okrążenia Y biegacza B są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 52 s i odchylenie standardowe 4 s, Y ma średnią 48 s i odchylenie standardowe 3 s. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

9.Przedziały ufnościŚredni

Próba 9 elementów ma średnią 104,5 i odchylenie standardowe s = 8. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 9x̄ = 104,5s = 890%t(8) = 1,86

górna granica =

10.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 23. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 3?

σ = 23E = 395%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 8 uczniów, średni wynik 92, odchylenie standardowe 11. Grupa 2: 14 uczniów, średni wynik 74,4, odchylenie standardowe 11,5. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).

n₁ = 8x̄₁ = 92s₁ = 11n₂ = 14x̄₂ = 74,4s₂ = 11,5

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z dla H₀: μ = 500 przeciw H₁: μ > 500 przeprowadza się na poziomie α = 0,05 na próbie o liczebności 25; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 15. W rzeczywistości średnia wynosi 508,1. Wyznacz prawdopodobieństwo błędu II rodzaju β w procentach.

μ₀ = 500μ = 508,1σ = 15n = 25α = 0,05

β = %

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 5

r² =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (24,5, 138). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 6(24,5, 138)

e =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. W teście niezależności chi-kwadrat wyznacz liczebność oczekiwaną E dla komórki „pracownicy, autobus”.

suma wiersza = 100suma kolumny = 68N = 175

E =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Tabela pokazuje liczebności obserwowane. Sprawdź na poziomie α = 0,05, czy obie zmienne są niezależne (bez poprawki na ciągłość). Oblicz statystykę testową χ², a potem porównaj ją z wartością krytyczną z tabeli.

N = 2203 × 2α = 0,05

χ² =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: C · Zastosowana procedura daje przedziały, które w 95% przypadków zawierają prawdziwą średnią

Dlaczego to jest odpowiedź

95% CI daje zakres wiarygodnych wartości parametru populacji. Węższe przedziały, uzyskiwane przy większych próbach, oznaczają dokładniejsze oszacowania.

Odpowiedź

C · Zastosowana procedura daje przedziały, które w 95% przypadków zawierają prawdziwą średnią

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: B · Tendencja do potakiwania; włączyć pozycje odwrócone

Dlaczego to jest odpowiedź

Potakiwanie to tendencja do zgadzania się z pozycjami. Mieszanie pozycji sformułowanych pozytywnie i negatywnie sprawia, że zgadzanie się ze wszystkim nie daje już skrajnego wyniku.

Odpowiedź

B · Tendencja do potakiwania; włączyć pozycje odwrócone

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 17,15

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 235/7 = 33,57

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−13,57)² + (−4,571)² + (−13,57)² + (−4,571)² + 23,43² + 25,43² + (−12,57)² = 1764

Odchylenie standardowe

s = √(1764/6) = 17,15

Odpowiedź

s = 17,15

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = −1,2

Standaryzuj

z = (54 − 60)/5 = −1,2

Odpowiedź

z = −1,2

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,07692

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pierwsze i drugie losowanie

P = 4/13 · 3/12 = 12/156 = 0,07692

Odpowiedź

P = 0,07692

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,1107

Wzór dwumianowy

P(X = 4) = 330·0,2⁴·0,8⁷ = 330·0,0016·0,2097 = 0,1107

Odpowiedź

P = 0,1107

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,2119

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standaryzuj

z = (757,9 − 750)/9,849 = 0,8

Górny ogon

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Odpowiedź

P = 0,2119

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,7881

Rozkład różnicy

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standaryzuj

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Odpowiedź

P = 0,7881

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 109,5

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 8, t = 1,86

Margines błędu

E = 1,86·8/√9 = 4,96

Przedział

104,5 ± 4,96 → [99,54, 109,5]

Odpowiedź

górna granica = 109,5

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 226

Wyznacz n

n = (1,96·23/3)² = 225,8

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 226

Odpowiedź

n = 226

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 3,506

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Wariancja łączna

s_p² = (7·11² + 13·11,5²)/20 = 128,3

s_p = 11,33

Błąd standardowy

SE = 11,33·√(1/8 + 1/14) = 5,02

Statystyka testowa

t = (92 − 74,4)/5,02 = 3,506

Odpowiedź

t = 3,506

Przy df = 20 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,086; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: β = 14,57 %

Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Krytyczna średnia z próby

SE = 15/√25 = 3

x̄_c = 500 + 1,645·3 = 504,9

z przy prawdziwej średniej

z = (504,9 − 508,1)/3 = −1,055

Błąd II rodzaju

moc = P(Z > −1,055) = 85,43%

β = 100% − 85,43% = 14,57%

Odpowiedź

β = 14,57%

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9981

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 138/5 = 27,6

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 160

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 641,2

Współczynnik determinacji

r² = 160²/(40·641,2) = 0,9981

Odpowiedź

r² = 0,9981

Około 99,81% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = 2,667

Średnie

x̄ = 147/6 = 24,5

ȳ = 812/6 = 135,3

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 924

Prosta regresji

b = 924/157,5 = 5,867

a = 135,3 − 5,867·24,5 = −8,4

ŷ = −8,4 + 5,867·x

Wartość przewidywana

ŷ = −8,4 + 5,867·24,5 = 135,3

Reszta

e = 138 − 135,3 = 2,667

Odpowiedź

e = 2,667

Punkt leży nad prostą.

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: E = 38,86

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebność oczekiwana

E = 100·68/175 = 38,86

Odpowiedź

E = 38,86

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 20,42

Liczebności oczekiwane

zakład A: 48, 32

zakład B: 36, 24

zakład C: 48, 32

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (34 − 48)²/48 + (46 − 32)²/32 + (48 − 36)²/36 + (12 − 24)²/24 + (50 − 48)²/48 + (30 − 32)²/32

χ² = 20,42

Decyzja

df = 2, χ²_crit = 5,991

20,42 > 5,991

Odpowiedź

χ² = 20,42

χ² jest większe od wartości krytycznej, więc H₀ zostaje odrzucona: zmienne wydają się powiązane.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology