Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Badacz bada wpływ płci na wyniki testu pamięci. Dlaczego jest to quasi-eksperyment, a nie prawdziwy eksperyment?

ASą tylko dwa warunki, a prawdziwy eksperyment wymaga co najmniej trzech poziomów zmiennej niezależnej
BBadanie odbywa się w laboratorium
CZZ nie jest mierzona
DZN to cecha istniejąca wcześniej, więc nie można losowo przydzielić do niej uczestników

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Czynnikowa ANOVA 2 × 3 pokazuje, że lek poprawia pamięć u młodych dorosłych, ale nie u starszych. Co stwierdzono?

ABłąd I rodzaju
BEfekt podłogowy
CInterakcję między lekiem a wiekiem
DTylko efekt główny wieku

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 33, 30, 31, 60, 50, 24, 20.

n = 7

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 12. Jaka część P wartości leży poniżej 194?

μ = 170σ = 12x = 194

P =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

Uczciwą kostką rzucamy 8 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?

n = 8

P =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 9 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,25, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 3 poprawnych odpowiedzi?

n = 9p = 0,25k = 3

P =

7.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,9599. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,9599

z =

8.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 25% wszystkich wartości (25. percentyl).

μ = 100σ = 15P = 25%

x = pkt

9.Przedziały ufnościŚredni

Próba 21 elementów ma średnią 81 i odchylenie standardowe s = 12,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 21x̄ = 81s = 12,599%t(20) = 2,845

dolna granica =

10.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 38. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2,5?

σ = 38E = 2,599%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Dwie linie produkcyjne wytwarzają tę samą część. Linia 1: próba 80 części ma średnią długość 72,5 mm, a znane odchylenie standardowe linii wynosi 10 mm. Linia 2: próba 80 części ma średnią 67,9 mm, znane odchylenie standardowe 16 mm. Wyznacz statystykę testową z dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (linia 1 minus linia 2).

n₁ = 80x̄₁ = 72,5 mmσ₁ = 10 mmn₂ = 80x̄₂ = 67,9 mmσ₂ = 16 mm

z =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 64 pomiarów ma średnią 101,9. Odchylenie standardowe populacji wynosi 15. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 90 % dla średniej.

x̄ = 101,9σ = 15n = 6490%

U =

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6Σx = 141Σy = 488Σx² = 3471Σy² = 42086Σxy = 12074

r =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 76?

n = 5ŷ = 76

x =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. W teście niezależności chi-kwadrat wyznacz liczebność oczekiwaną E dla komórki „zmiana nocna, bez wady”.

suma wiersza = 110suma kolumny = 71N = 213

E =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Test zgodności chi-kwadrat porównuje liczebności obserwowane w 11 kategoriach z w pełni określonymi oczekiwanymi udziałami (żadne parametry nie są estymowane z danych). Ile stopni swobody df ma test?

k = 11

df =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: D · ZN to cecha istniejąca wcześniej, więc nie można losowo przydzielić do niej uczestników

Dlaczego to jest odpowiedź

W quasi-eksperymencie ZN to naturalnie występująca różnica między ludźmi. Bez losowego przydziału inne różnice między grupami mogą zakłócać wyniki.

Odpowiedź

D · ZN to cecha istniejąca wcześniej, więc nie można losowo przydzielić do niej uczestników

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: C · Interakcję między lekiem a wiekiem

Dlaczego to jest odpowiedź

Interakcja występuje, gdy efekt jednego czynnika różni się na poziomach innego. Tutaj efekt leku zależy od grupy wiekowej.

Odpowiedź

C · Interakcję między lekiem a wiekiem

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 14,37

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 248/7 = 35,43

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−2,429)² + (−5,429)² + (−4,429)² + 24,57² + 14,57² + (−11,43)² + (−15,43)² = 1240

Odchylenie standardowe

s = √(1240/6) = 14,37

Odpowiedź

s = 14,37

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,9772

Standaryzuj

z = 2

Tablica rozkładu normalnego

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Odpowiedź

P = 0,9772

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,7674

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zdarzenie przeciwne

P(brak szóstki) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Odpowiedź

P = 0,7674

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,2336

Wzór dwumianowy

P(X = 3) = 84·0,25³·0,75⁶ = 84·0,01563·0,178 = 0,2336

Odpowiedź

P = 0,2336

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = −1,75

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = 1 − 0,9599 = 0,0401

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,0401 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = −1,75

Odpowiedź

z = −1,75

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 89,88 pkt

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

z dla percentyla

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Powrót do x

x = 100 + −0,6745·15 = 89,88 pkt

Odpowiedź

x = 89,88 pkt

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 73,24

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 20, t = 2,845

Margines błędu

E = 2,845·12,5/√21 = 7,76

Przedział

81 ± 7,76 → [73,24, 88,76]

Odpowiedź

dolna granica = 73,24

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 1534

Wyznacz n

n = (2,576·38/2,5)² = 1533

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 1534

Odpowiedź

n = 1534

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = 2,181

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Błąd standardowy różnicy

SE = √(10²/80 + 16²/80) = √4,45 = 2,11

Statystyka testowa

z = (72,5 − 67,9)/2,11 = 2,181

Odpowiedź

z = 2,181

|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: U = 105

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Margines błędu

E = 1,645·15/√64 = 3,084

Granica przedziału

U = 101,9 + 3,084 = 105

Odpowiedź

U = 105

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9866

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 12074 − 141·488/6 = 606

S_xx = 3471 − 141²/6 = 157,5

S_yy = 42086 − 488²/6 = 2395

Współczynnik korelacji

r = 606/√(157,5·2395) = 0,9866

Odpowiedź

r = 0,9866

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 5,469

Średnie

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 333/5 = 66,6

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64

Prosta regresji

b = 64/10 = 6,4

a = 66,6 − 6,4·4 = 41

ŷ = 41 + 6,4·x

Wyznacz x

x = (76 − 41)/6,4 = 5,469

Odpowiedź

x = 5,469

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: E = 36,67

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebność oczekiwana

E = 110·71/213 = 36,67

Odpowiedź

E = 36,67

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: df = 10

Stopnie swobody

df = 11 − 1 = 10

Odpowiedź

df = 10

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology