Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

W eksperymencie terenowym badacz:

AAnalizuje dane zebrane przez innych
BManipuluje ZN w warunkach rzeczywistych
CTylko obserwuje, niczym nie manipulując
DManipuluje ZN w laboratorium

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Badacz zbiera dane w dziewięciu punktach czasowych i za każdym razem testuje na poziomie 5% bez korekty. Na czym polega problem?

AWielkość efektu spada z każdym testem
BDane z każdym razem stają się rzetelniejsze, więc ostatni test jest najdokładniejszy
CTakie podejście nie stanowi problemu
DPrawdopodobieństwo co najmniej jednego fałszywie pozytywnego wyniku rośnie znacznie powyżej 5%

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 15, 21, 56, 12, 40, 22, 37.

n = 7

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 10. Jaka część P wartości leży poniżej 75?

μ = 60σ = 10x = 75

P =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

Na ile sposobów N można wybrać komisję 3 osób z grupy 7 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 7k = 3

N =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 6 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,6. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 6p = 0,6

P =

7.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład czasów dostawy jest normalny ze średnią 32 min i odchyleniem standardowym 6 min. Jaka część wartości leży między 23,3 a 44,3 min? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 32σ = 6x₁ = 23,3x₂ = 44,3

P =

8.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 90% wszystkich wartości (90. percentyl).

μ = 100σ = 15P = 90%

x = pkt

9.Przedziały ufnościŚredni

Próba 11 elementów ma średnią 16,5 i odchylenie standardowe s = 16. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 11x̄ = 16,5s = 1695%t(10) = 2,228

E =

10.Przedziały ufnościTrudny

Z góry nic nie wiadomo o frakcji wadliwych produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 99 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,03?

p = 0,5E = 0,0399%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 16 studentów ma średni wynik 110,9 i odchylenie standardowe z próby 15. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 110,9s = 15n = 16

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 36 pomiarów ma średnią 99,8. Odchylenie standardowe populacji wynosi 15. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 95 % dla średniej.

x̄ = 99,8σ = 15n = 3695%

U =

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5

r =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 45?

n = 5ŷ = 45

x =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 1402 × 3

χ² =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Test niezależności chi-kwadrat przeprowadza się na tabeli kontyngencji o 2 wierszach i 11 kolumnach (bez sum). Korzystając z tabeli, wyznacz wartość krytyczną χ²_crit na poziomie istotności α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: B · Manipuluje ZN w warunkach rzeczywistych

Dlaczego to jest odpowiedź

Eksperymenty terenowe, np. inscenizowane sytuacje udzielania pomocy na ulicy, zwiększają trafność ekologiczną, ale dają mniejszą kontrolę nad zmiennymi ubocznymi i rodzą problemy ze zgodą.

Odpowiedź

B · Manipuluje ZN w warunkach rzeczywistych

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: D · Prawdopodobieństwo co najmniej jednego fałszywie pozytywnego wyniku rośnie znacznie powyżej 5%

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy dziewięciu niezależnych testach prawdopodobieństwo co najmniej jednego błędu I rodzaju wynosi około 1 − 0,95⁹ ≈ 37%. Rozwiązaniem są korekty, np. Bonferroniego.

Odpowiedź

D · Prawdopodobieństwo co najmniej jednego fałszywie pozytywnego wyniku rośnie znacznie powyżej 5%

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 15,87

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 203/7 = 29

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−14)² + (−8)² + 27² + (−17)² + 11² + (−7)² + 8² = 1512

Odchylenie standardowe

s = √(1512/6) = 15,87

Odpowiedź

s = 15,87

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,9332

Standaryzuj

z = 1,5

Tablica rozkładu normalnego

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

Odpowiedź

P = 0,9332

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 35

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(7, 3) = (7·6·5)/(3·2·1) = 35

Odpowiedź

N = 35

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,04096

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,4⁶ = 0,004096

P(X = 1) = 6·0,6·0,4⁵ = 0,03686

Dodaj

P = 0,004096 + 0,03686 = 0,04096

Odpowiedź

P = 0,04096

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,9063

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (23,3 − 32)/6 = −1,45

z₂ = (44,3 − 32)/6 = 2,05

Pole pomiędzy

P = Φ(2,05) − Φ(−1,45) = 0,9798 − 0,07353 = 0,9063

Odpowiedź

P = 0,9063

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 119,2 pkt

z dla percentyla

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Powrót do x

x = 100 + 1,282·15 = 119,22 pkt

Odpowiedź

x = 119,22 pkt

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 10,75

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 10, t = 2,228

Margines błędu

E = 2,228·16/√11 = 10,75

Odpowiedź

E = 10,75

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 1844

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Wyznacz n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,03² = 1843

Zaokrąglij w górę

n = 1844

Odpowiedź

n = 1844

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 2,907

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75

Statystyka testowa

t = (110,9 − 100)/3,75 = 2,907

Odpowiedź

t = 2,907

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: U = 104,7

Margines błędu

E = 1,96·15/√36 = 4,9

Granica przedziału

U = 99,8 + 4,9 = 104,7

Odpowiedź

U = 104,7

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9825

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 506/5 = 101,2

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 254

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1671

Współczynnik korelacji

r = 254/√(40·1671) = 0,9825

Odpowiedź

r = 0,9825

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 3,591

Średnie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 212/5 = 42,4

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 44

Prosta regresji

b = 44/10 = 4,4

a = 42,4 − 4,4·3 = 29,2

ŷ = 29,2 + 4,4·x

Wyznacz x

x = (45 − 29,2)/4,4 = 3,591

Odpowiedź

x = 3,591

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 11,71

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

zmiana dzienna: 80·28/140 = 16, 80·42/140 = 24, 80·70/140 = 40

zmiana nocna: 60·28/140 = 12, 60·42/140 = 18, 60·70/140 = 30

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (10 − 16)²/16 + (32 − 24)²/24 + (38 − 40)²/40 + (18 − 12)²/12 + (10 − 18)²/18 + (32 − 30)²/30

χ² = 11,71

Odpowiedź

χ² = 11,71

df = 2. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 5,991, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): odrzucona.

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ²_crit = 18,31

Stopnie swobody

df = (2 − 1)·(11 − 1) = 10

Tabela

χ²_crit(df = 10, α = 0,05) = 18,307

Odpowiedź

χ²_crit = 18,307

Odrzuć H₀, jeśli obliczone χ² jest większe od tej wartości.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology