Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Który plan wykorzystuje różnych uczestników w każdym warunku?

APlan wewnątrzosobniczy
BPlan z powtarzanym pomiarem
CPlan par dobranych z tymi samymi osobami
DPlan grup niezależnych

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Badacz zbiera dane w dziewięciu punktach czasowych i za każdym razem testuje na poziomie 5% bez korekty. Na czym polega problem?

APrawdopodobieństwo co najmniej jednego fałszywie pozytywnego wyniku rośnie znacznie powyżej 5%
BTakie podejście nie stanowi problemu
CWielkość efektu spada z każdym testem
DDane z każdym razem stają się rzetelniejsze, więc ostatni test jest najdokładniejszy

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 40, 40, 60, 41, 13, 51, 46.

n = 7

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 5. Wyznacz wynik z z dla wyniku 164.

μ = 170σ = 5x = 164

z =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

Na ile sposobów N można wybrać komisję 4 osób z grupy 9 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 9k = 4

N =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = 2X + 1. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,35, 0,1, 0,3Y = 2X + 1

σ_Y =

7.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Jaka część wartości leży między 174,5 a 192 cm? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 178σ = 7x₁ = 174,5x₂ = 192

P =

8.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 10% wszystkich wartości (10. percentyl).

μ = 178σ = 7P = 10%

x = cm

9.Przedziały ufnościŚredni

Przedział ufności 99 % dla średniej, oparty na 36 obserwacjach i znanym σ, ma margines błędu 10,1. Jaki jest margines błędu E₂ przedziału 90 % opartego na 144 obserwacjach?

99%n₁ = 36E₁ = 10,190%n₂ = 144

E₂ =

10.Przedziały ufnościTrudny

Badanie pilotażowe sugeruje, że wadliwych jest około 0,4 produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 90 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,05?

p ≈ 0,4E = 0,0590%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Twierdzi się, że średnia populacji wynosi 500; odchylenie standardowe populacji jest znane i wynosi 25. Losowa próba 100 obserwacji ma średnią 495,3. Przetestuj H₀: μ = 500 przeciw H₁: μ < 500. Wyznacz wartość p p.

μ₀ = 500σ = 25n = 100x̄ = 495,3H₁: μ < μ₀

p =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 16 pomiarów ma średnią 119,1. Odchylenie standardowe populacji wynosi 4. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 95 % dla średniej.

x̄ = 119,1σ = 4n = 1695%

L =

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5Σx = 35Σy = 345Σx² = 285Σy² = 24755Σxy = 2609

r =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 54?

n = 6ŷ = 54

x =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. W teście niezależności chi-kwadrat wyznacz liczebność oczekiwaną E dla komórki „miasto, średni”.

suma wiersza = 58suma kolumny = 22N = 127

E =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Tabela pokazuje liczebności obserwowane. Sprawdź na poziomie α = 0,01, czy obie zmienne są niezależne (bez poprawki na ciągłość). Oblicz statystykę testową χ², a potem porównaj ją z wartością krytyczną z tabeli.

N = 2603 × 2α = 0,01

χ² =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: D · Plan grup niezależnych

Dlaczego to jest odpowiedź

W planie grup niezależnych każdy warunek ma innych uczestników, co eliminuje efekty kolejności, ale wiąże się z ryzykiem wpływu zmiennych osobowych.

Odpowiedź

D · Plan grup niezależnych

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: A · Prawdopodobieństwo co najmniej jednego fałszywie pozytywnego wyniku rośnie znacznie powyżej 5%

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy dziewięciu niezależnych testach prawdopodobieństwo co najmniej jednego błędu I rodzaju wynosi około 1 − 0,95⁹ ≈ 37%. Rozwiązaniem są korekty, np. Bonferroniego.

Odpowiedź

A · Prawdopodobieństwo co najmniej jednego fałszywie pozytywnego wyniku rośnie znacznie powyżej 5%

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 14,55

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 291/7 = 41,57

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−1,571)² + (−1,571)² + 18,43² + (−0,5714)² + (−28,57)² + 9,429² + 4,429² = 1270

Odchylenie standardowe

s = √(1270/6) = 14,55

Odpowiedź

s = 14,55

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = −1,2

Standaryzuj

z = (164 − 170)/5 = −1,2

Odpowiedź

z = −1,2

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 126

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(9, 4) = (9·8·7·6)/(4·3·2·1) = 126

Odpowiedź

N = 126

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 4,643

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Rozrzut X

μ = 2,9, Var(X) = 5,39, σ_X = 2,322

Zmiana liniowa

σ_Y = |2|·2,322 = 4,643

Odpowiedź

σ_Y = 4,643

Średnia się przesuwa: E(Y) = 2·2,9 + 1 = 6,8.

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,6687

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (174,5 − 178)/7 = −0,5

z₂ = (192 − 178)/7 = 2

Pole pomiędzy

P = Φ(2) − Φ(−0,5) = 0,9772 − 0,3085 = 0,6687

Odpowiedź

P = 0,6687

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 169 cm

z dla percentyla

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Powrót do x

x = 178 + −1,282·7 = 169,03 cm

Odpowiedź

x = 169,03 cm

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: E₂ = 3,225

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Stosunek marginesów

E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(36/144) = 0,3193

Nowy margines

E₂ = 10,1·0,3193 = 3,225

Odpowiedź

E₂ = 3,225

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 260

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Wyznacz n

n = 1,645²·0,4·0,6/0,05² = 259,8

Zaokrąglij w górę

n = 260

Odpowiedź

n = 260

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: p = 0,03005

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statystyka testowa

SE = σ/√n = 25/√100 = 2,5

z = (495,3 − 500)/2,5 = −1,88

Pole ogona

Φ(1,88) = 0,9699

1 − Φ(1,88) = 0,0301

Wartość p

p = 0,03005

Odpowiedź

p = 0,03005

p ≤ 0,05, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 %.

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: L = 117,1

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Margines błędu

E = 1,96·4/√16 = 1,96

Granica przedziału

L = 119,1 − 1,96 = 117,1

Odpowiedź

L = 117,1

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9952

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 2609 − 35·345/5 = 194

S_xx = 285 − 35²/5 = 40

S_yy = 24755 − 345²/5 = 950

Współczynnik korelacji

r = 194/√(40·950) = 0,9952

Odpowiedź

r = 0,9952

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 1,485

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 362/6 = 60,33

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 55

Prosta regresji

b = 55/17,5 = 3,143

a = 60,33 − 3,143·3,5 = 49,33

ŷ = 49,33 + 3,143·x

Wyznacz x

x = (54 − 49,33)/3,143 = 1,485

Odpowiedź

x = 1,485

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: E = 10,05

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebność oczekiwana

E = 58·22/127 = 10,05

Odpowiedź

E = 10,05

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 0,7857

Liczebności oczekiwane

linia 1: 24, 56

linia 2: 30, 70

linia 3: 24, 56

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (27 − 24)²/24 + (53 − 56)²/56 + (28 − 30)²/30 + (72 − 70)²/70 + (23 − 24)²/24 + (57 − 56)²/56

χ² = 0,7857

Decyzja

df = 2, χ²_crit = 9,210

0,7857 < 9,210

Odpowiedź

χ² = 0,7857

χ² jest mniejsze od wartości krytycznej, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀: brak istotnych dowodów na związek.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology