Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Badacz wysyła kwestionariusz do wszystkich studentów, a następnie prosi respondentów o zrekrutowanie znajomych, którzy też korzystają z rzadkiej aplikacji do snu. Jaką metodę doboru zastosowano w drugim kroku?

ADobór systematyczny
BDobór warstwowy
CMetodę kuli śnieżnej
DLosowy dobór próby

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Badacz manipuluje nastrojem, pokazując smutny film, a następnie przed zadaniem głównym prosi uczestników o ocenę, jak bardzo są smutni. Po co włączono tę ocenę?

AJako główną zmienną zależną badania
BJako sprawdzenie manipulacji, by potwierdzić, że ZN zadziałała zgodnie z zamierzeniem
CBy przeprowadzić z uczestnikami debriefing o celach
DBy zrównoważyć kolejność warunków

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 18, 39, 33, 26, 33, 30.

n = 6

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 20. Wyznacz wynik z z dla wyniku 30.

μ = 70σ = 20x = 30

z =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

W worku jest 6 kul czerwonych i 9 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?

6 / 9

P =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 10 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,1, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 1 poprawnych odpowiedzi?

n = 10p = 0,1k = 1

P =

7.Rozkład normalnyŚredni

X ma rozkład normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 4 g; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 500 g i odchyleniem standardowym 9 g. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 762,3 g. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 762,3 g

P =

8.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów dostawy jest normalny ze średnią 32 min i odchyleniem standardowym 6 min. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 5% wszystkich wartości (5. percentyl).

μ = 32σ = 6P = 5%

x = min

9.Przedziały ufnościŚredni

Próba 15 elementów ma średnią 89 i odchylenie standardowe s = 13. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 15x̄ = 89s = 1399%t(14) = 2,977

dolna granica =

10.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 37. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1?

σ = 37E = 199%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Twierdzi się, że średnia populacji wynosi 80; odchylenie standardowe populacji jest znane i wynosi 20. Losowa próba 100 obserwacji ma średnią 84,2. Przetestuj H₀: μ = 80 przeciw H₁: μ > 80. Wyznacz wartość p p.

μ₀ = 80σ = 20n = 100x̄ = 84,2H₁: μ > μ₀

p =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z na poziomie α = 0,01 ma wykryć przesunięcie średniej o 2,5 jednostek z mocą 90 %. Odchylenie standardowe wynosi 6. Wyznacz minimalną liczebność próby n.

α = 0,01moc = 90%δ = 2,5σ = 6z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6

r =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 15?

n = 5ŷ = 15

x =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. W teście niezależności chi-kwadrat wyznacz liczebność oczekiwaną E dla komórki „wieś, wysoki”.

suma wiersza = 71suma kolumny = 55N = 126

E =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Tabela pokazuje liczebności obserwowane. Sprawdź na poziomie α = 0,05, czy obie zmienne są niezależne (bez poprawki na ciągłość). Oblicz statystykę testową χ², a potem porównaj ją z wartością krytyczną z tabeli.

N = 2203 × 2α = 0,05

χ² =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: C · Metodę kuli śnieżnej

Dlaczego to jest odpowiedź

Metoda kuli śnieżnej przydaje się przy grupach trudno dostępnych, ale próba prawdopodobnie ma wspólne cechy i nie jest reprezentatywna.

Odpowiedź

C · Metodę kuli śnieżnej

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: B · Jako sprawdzenie manipulacji, by potwierdzić, że ZN zadziałała zgodnie z zamierzeniem

Dlaczego to jest odpowiedź

Sprawdzenie manipulacji weryfikuje, czy ZN wywołała zamierzony stan psychiczny. Bez niego wynik zerowy mógłby oznaczać, że manipulacja się nie udała.

Odpowiedź

B · Jako sprawdzenie manipulacji, by potwierdzić, że ZN zadziałała zgodnie z zamierzeniem

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 7,195

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 179/6 = 29,83

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−11,83)² + 9,167² + 3,167² + (−3,833)² + 3,167² + 0,1667² = 258,8

Odchylenie standardowe

s = √(258,8/5) = 7,195

Odpowiedź

s = 7,195

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = −2

Standaryzuj

z = (30 − 70)/20 = −2

Odpowiedź

z = −2

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,1429

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pierwsze i drugie losowanie

P = 6/15 · 5/14 = 30/210 = 0,1429

Odpowiedź

P = 0,1429

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,3874

Wzór dwumianowy

P(X = 1) = 10·0,1¹·0,9⁹ = 10·0,1·0,3874 = 0,3874

Odpowiedź

P = 0,3874

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,1056

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standaryzuj

z = (762,3 − 750)/9,849 = 1,25

Górny ogon

P = 1 − Φ(1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056

Odpowiedź

P = 0,1056

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 22,13 min

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

z dla percentyla

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Powrót do x

x = 32 + −1,645·6 = 22,13 min

Odpowiedź

x = 22,13 min

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 79,01

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 14, t = 2,977

Margines błędu

E = 2,977·13/√15 = 9,993

Przedział

89 ± 9,993 → [79,01, 98,99]

Odpowiedź

dolna granica = 79,01

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 9085

Wyznacz n

n = (2,576·37/1)² = 9084

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 9085

Odpowiedź

n = 9085

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: p = 0,01786

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statystyka testowa

SE = σ/√n = 20/√100 = 2

z = (84,2 − 80)/2 = 2,1

Pole ogona

Φ(2,1) = 0,9821

1 − Φ(2,1) = 0,0179

Wartość p

p = 0,01786

Odpowiedź

p = 0,01786

p ≤ 0,05, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 %.

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 75

Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = ((2,326 + 1,282)·6/2,5)² = 74,98

Zaokrąglij w górę

n = 75

Odpowiedź

n = 75

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = −0,9927

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 85/6 = 14,17

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −44,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 114,8

Współczynnik korelacji

r = −44,5/√(17,5·114,8) = −0,9927

Odpowiedź

r = −0,9927

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 9,333

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 50/5 = 10

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60

Prosta regresji

b = 60/40 = 1,5

a = 10 − 1,5·6 = 1

ŷ = 1 + 1,5·x

Wyznacz x

x = (15 − 1)/1,5 = 9,333

Odpowiedź

x = 9,333

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: E = 30,99

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebność oczekiwana

E = 71·55/126 = 30,99

Odpowiedź

E = 30,99

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 22,98

Liczebności oczekiwane

zakład A: 42, 18

zakład B: 70, 30

zakład C: 42, 18

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (32 − 42)²/42 + (28 − 18)²/18 + (86 − 70)²/70 + (14 − 30)²/30 + (36 − 42)²/42 + (24 − 18)²/18

χ² = 22,98

Decyzja

df = 2, χ²_crit = 5,991

22,98 > 5,991

Odpowiedź

χ² = 22,98

χ² jest większe od wartości krytycznej, więc H₀ zostaje odrzucona: zmienne wydają się powiązane.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology