Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

W analizie treści rzetelność międzysędziowską sprawdza się przez:

ADwukrotne kodowanie materiału w ciągu jednego dnia
BZapytanie uczestników po badaniu, czy kodowanie ich materiału przez badacza jest poprawne
CKodowanie tego samego materiału przez dwóch badaczy i porównanie wyników
DUżycie większej próby materiałów

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Badanie na 10 uczestnikach wykazuje duży, ale nieistotny efekt. Jaki wniosek jest najwłaściwszy?

ABadanie dowodzi, że hipoteza zerowa jest prawdziwa, ponieważ efekt nie był istotny
BWielkość efektu musiała zostać źle obliczona
CEfekt musi być błędem I rodzaju
DBadanie mogło mieć za małą moc, więc wynik jest nierozstrzygający

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 18, 11, 27, 19, 45.

n = 5

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 8. Jaka część P wartości leży poniżej 52?

μ = 60σ = 8x = 52

P =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

Uczciwą kostką rzucamy 5 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?

n = 5

P =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 6 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,5, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 2 poprawnych odpowiedzi?

n = 6p = 0,5k = 2

P =

7.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,7540. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,7540

z =

8.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 10% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 178 cmσ = 7 cm10%

x = cm

9.Przedziały ufnościŚredni

Próba 16 elementów ma średnią 118,5 i odchylenie standardowe s = 17,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 16x̄ = 118,5s = 17,599%t(15) = 2,947

górna granica =

10.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 36. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1?

σ = 36E = 195%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 36 studentów ma średni wynik 51,6 i odchylenie standardowe z próby 4. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 51,6s = 4n = 36

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

W badaniu klinicznym wyzdrowiało 150 z 250 pacjentów leczonych metodą A i 90 z 200 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 150n₁ = 250x₂ = 90n₂ = 200

z =

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 5

r² =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 4,5.

n = 6x = 4,5

ŷ =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 2202 × 2

χ² =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Test niezależności chi-kwadrat przeprowadza się na tabeli kontyngencji o 2 wierszach i 2 kolumnach (bez sum). Korzystając z tabeli, wyznacz wartość krytyczną χ²_crit na poziomie istotności α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: C · Kodowanie tego samego materiału przez dwóch badaczy i porównanie wyników

Dlaczego to jest odpowiedź

Jeśli niezależni koderzy nadają tym samym danym podobne kody (wysoka zgodność lub korelacja), schemat kodowania jest rzetelny.

Odpowiedź

C · Kodowanie tego samego materiału przez dwóch badaczy i porównanie wyników

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: D · Badanie mogło mieć za małą moc, więc wynik jest nierozstrzygający

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy małych próbach nawet rzeczywiste efekty często nie osiągają istotności (błąd II rodzaju). Badacze powinni podać wielkość efektu i przedział ufności oraz powtórzyć badanie na większej próbie.

Odpowiedź

D · Badanie mogło mieć za małą moc, więc wynik jest nierozstrzygający

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 13,04

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 120/5 = 24

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−6)² + (−13)² + 3² + (−5)² + 21² = 680

Odchylenie standardowe

s = √(680/4) = 13,04

Odpowiedź

s = 13,04

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,1587

Standaryzuj

z = −1

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Odpowiedź

P = 0,1587

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,5981

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zdarzenie przeciwne

P(brak szóstki) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Odpowiedź

P = 0,5981

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,2344

Wzór dwumianowy

P(X = 2) = 15·0,5²·0,5⁴ = 15·0,25·0,0625 = 0,2344

Odpowiedź

P = 0,2344

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 1,16

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = (1 + 0,7540)/2 = 0,8770

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,8770 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 1,16

Odpowiedź

z = 1,16

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 169 cm

Pole po lewej

Φ(z) = 0,1

z z tablicy

z ≈ −1,28

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 178 − 1,28·7 = 169 cm

Odpowiedź

x = 169 cm

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 131,4

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 15, t = 2,947

Margines błędu

E = 2,947·17,5/√16 = 12,89

Przedział

118,5 ± 12,89 → [105,6, 131,4]

Odpowiedź

górna granica = 131,4

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 4979

Wyznacz n

n = (1,96·36/1)² = 4979

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 4979

Odpowiedź

n = 4979

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 2,4

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667

Statystyka testowa

t = (51,6 − 50)/0,6667 = 2,4

Odpowiedź

t = 2,4

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = 3,169

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Frakcje z prób

p̂₁ = 150/250 = 0,6

p̂₂ = 90/200 = 0,45

p̂ = 240/450 = 0,5333

Błąd standardowy przy H₀

SE = √(0,5333·0,4667·(1/250 + 1/200)) = 0,04733

Statystyka testowa

z = (0,6 − 0,45)/0,04733 = 3,169

Odpowiedź

z = 3,169

|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9774

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 546/5 = 109,2

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 453

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2333

Współczynnik determinacji

r² = 453²/(90·2333) = 0,9774

Odpowiedź

r² = 0,9774

Około 97,74% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 49,5

Średnie

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 297/6 = 49,5

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 72,5

Prosta regresji

b = 72,5/17,5 = 4,143

a = 49,5 − 4,143·4,5 = 30,86

ŷ = 30,86 + 4,143·x

Prognoza

ŷ = 30,86 + 4,143·4,5 = 49,5

Odpowiedź

ŷ = 49,5

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 7,639

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

nowy lek: 120·132/220 = 72, 120·88/220 = 48

placebo: 100·132/220 = 60, 100·88/220 = 40

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (62 − 72)²/72 + (58 − 48)²/48 + (70 − 60)²/60 + (30 − 40)²/40

χ² = 7,639

Odpowiedź

χ² = 7,639

df = 1. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 3,841, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): odrzucona.

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ²_crit = 6,635

Stopnie swobody

df = (2 − 1)·(2 − 1) = 1

Tabela

χ²_crit(df = 1, α = 0,01) = 6,635

Odpowiedź

χ²_crit = 6,635

Odrzuć H₀, jeśli obliczone χ² jest większe od tej wartości.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology