Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Student uzyskuje 130 punktów w teście o średniej 100 i odchyleniu standardowym 15. Jaki jest jego wynik z?

A1,5
B0,5
C3,0
D2,0

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

W badaniach jakościowych refleksyjność oznacza, że badacz:

APrzekształca tematy w dane liczbowe
BPowtarza badanie, by sprawdzić rzetelność
CUżywa próby losowej, by usunąć obciążenia
DZastanawia się, jak jego własne doświadczenia i założenia mogą kształtować analizę

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 37, 57, 12, 37, 47, 36.

n = 6

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 8. Wyznacz wynik z z dla wyniku 174,8.

μ = 170σ = 8x = 174,8

z =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,3, 0,25, 0,1

σ =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 12 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,3, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 3 poprawnych odpowiedzi?

n = 12p = 0,3k = 3

P =

7.Rozkład normalnyŚredni

Masy śrub są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 40 g i odchyleniem standardowym 1,2 g. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 5 z nich przekroczy 204 g. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 5> 204 g

P =

8.Rozkład normalnyTrudny

Wzrost X mężczyzn i wzrost Y kobiet w grupie są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 180 cm i odchylenie standardowe 10 cm, Y ma średnią 170 cm i odchylenie standardowe 12 cm. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

9.Przedziały ufnościŚredni

U 16 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią 4,7 i odchylenie standardowe 3,7. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 95 % dla średniej różnicy.

n = 16d̄ = 4,7s_d = 3,795%t(15) = 2,131

dolna granica = mmHg

10.Przedziały ufnościTrudny

Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 21 poletek, średni plon 11,5 kg, odchylenie standardowe 3,5 kg. Grupa poletek 2: 5 poletek, średnia 8,5 kg, odchylenie standardowe 1 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.

n₁ = 21x̄₁ = 11,5s₁ = 3,5n₂ = 5x̄₂ = 8,5s₂ = 190%t(24) = 1,711

dolna granica = kg

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 49 studentów ma średni wynik 81,21 i odchylenie standardowe z próby 15. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 81,21s = 15n = 49

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z dla H₀: μ = 80 przeciw H₁: μ < 80 przeprowadza się na poziomie α = 0.10 na próbie o liczebności 25; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 2.5. W rzeczywistości średnia wynosi 78.5. Wyznacz prawdopodobieństwo błędu II rodzaju β w procentach.

μ₀ = 80μ = 78,5σ = 2,5n = 25α = 0,10

β = %

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5

r =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (2, 38). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 5(2, 38)

e =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 2202 × 2

χ² =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Test zgodności chi-kwadrat porównuje liczebności obserwowane w 4 kategoriach z w pełni określonymi oczekiwanymi udziałami (żadne parametry nie są estymowane z danych). Ile stopni swobody df ma test?

k = 4

df =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: D · 2,0

Dlaczego to jest odpowiedź

(130 − 100) / 15 = 2. Wynik leży dwa odchylenia standardowe powyżej średniej, wyżej niż u około 97–98% ludzi.

Odpowiedź

D · 2,0

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: D · Zastanawia się, jak jego własne doświadczenia i założenia mogą kształtować analizę

Dlaczego to jest odpowiedź

Refleksyjność uznaje wpływ badacza na zbieranie i interpretację danych i jest kluczowym kryterium jakości w pracy jakościowej.

Odpowiedź

D · Zastanawia się, jak jego własne doświadczenia i założenia mogą kształtować analizę

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 14,99

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 226/6 = 37,67

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−0,6667)² + 19,33² + (−25,67)² + (−0,6667)² + 9,333² + (−1,667)² = 1123

Odchylenie standardowe

s = √(1123/5) = 14,99

Odpowiedź

s = 14,99

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 0,6

Standaryzuj

z = (174,8 − 170)/8 = 0,6

Odpowiedź

z = 0,6

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 0,995

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,25 + 3·0,1 = 1,1

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,25 + 9·0,1 = 2,2

Wariancja

Var(X) = 2,2 − 1,1² = 0,99

σ = √0,99 = 0,995

Odpowiedź

σ = 0,995

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,2397

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Wzór dwumianowy

P(X = 3) = 220·0,3³·0,7⁹ = 220·0,027·0,04035 = 0,2397

Odpowiedź

P = 0,2397

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,06811

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy całkowitej

μ_T = 200 g, σ_T = 1,2·√5 = 2,683 g

Standaryzuj

z = (204 − 200)/2,683 = 1,49

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(1,49) = 0,06811

Odpowiedź

P = 0,06811

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,7389

Rozkład różnicy

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Standaryzuj

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Odpowiedź

P = 0,7389

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 2,729 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Wartość krytyczna

df = 15, t = 2,131

Margines błędu

E = 2,131·3,7/√16 = 1,971

Przedział

4,7 ± 1,971 → [2,729, 6,671]

Odpowiedź

dolna granica = 2,729 mmHg

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 0,2576 kg

Łączne odchylenie standardowe

s_p² = (20·3,5² + 4·1²)/24 = 10,38

s_p = 3,221

Margines błędu

E = 1,711·3,221·√(1/21 + 1/5) = 2,742

Przedział

3 ± 2,742 → [0,2576, 5,742]

Odpowiedź

dolna granica = 0,2576 kg

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 2,898

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 15/√49 = 15/7 = 2,143

Statystyka testowa

t = (81,21 − 75)/2,143 = 2,898

Odpowiedź

t = 2,898

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: β = 4,29 %

Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Krytyczna średnia z próby

SE = 2,5/√25 = 0,5

x̄_c = 80 − 1,282·0,5 = 79,36

z przy prawdziwej średniej

z = (79,36 − 78,5)/0,5 = 1,718

Błąd II rodzaju

moc = P(Z < 1.718) = 95.71%

β = 100% − 95,71% = 4,29%

Odpowiedź

β = 4,29%

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9959

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 330/5 = 66

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 218

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1198

Współczynnik korelacji

r = 218/√(40·1198) = 0,9959

Odpowiedź

r = 0,9959

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = −1,85

Średnie

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 227/5 = 45,4

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 74

Prosta regresji

b = 74/40 = 1,85

a = 45,4 − 1,85·5 = 36,15

ŷ = 36,15 + 1,85·x

Wartość przewidywana

ŷ = 36,15 + 1,85·2 = 39,85

Reszta

e = 38 − 39,85 = −1,85

Odpowiedź

e = −1,85

Punkt leży pod prostą.

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 7,407

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

palący: 120·99/220 = 54, 120·121/220 = 66

niepalący: 100·99/220 = 45, 100·121/220 = 55

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (44 − 54)²/54 + (76 − 66)²/66 + (55 − 45)²/45 + (45 − 55)²/55

χ² = 7,407

Odpowiedź

χ² = 7,407

df = 1. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 3,841, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): odrzucona.

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: df = 3

Stopnie swobody

df = 4 − 1 = 3

Odpowiedź

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology