Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
Testy chi-kwadrat
- Statystyka testowa
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Test zgodności
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Niezależność
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Wartości krytyczne (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Decyzja
- odrzuć H0, jeśli χ² > χ²crit
2Zadania do ćwiczenia
1.Metody badawcze w psychologiiŚredni
Który test nadaje się do porównania średnich dwóch niezależnych grup z danymi przedziałowymi o rozkładzie zbliżonym do normalnego?
- ATest t dla prób niezależnych
- BKorelacja Pearsona
- CTest Wilcoxona dla par obserwacji
- DTest chi-kwadrat
2.Metody badawcze w psychologiiTrudny
Jaki jest główny cel losowego przydziału do warunków w eksperymencie?
- AZwiększenie odsetka odpowiedzi
- BZapewnienie, że uczestnicy nie znają celu
- CZapewnienie reprezentatywności próby dla populacji docelowej, aby wyniki dało się uogólnić
- DRównomierne rozłożenie zmiennych osobowych, by nie zakłócały wyników
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 13, 12, 11, 44, 27, 55, 19.
n = 7
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 10. Jaka część P wartości leży poniżej 65?
μ = 70σ = 10x = 65
P =
5.PrawdopodobieństwoŚredni
W worku jest 5 kul czerwonych i 9 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?
5 / 9
P =
6.PrawdopodobieństwoTrudny
Testuje się 7 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,7. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?
n = 7p = 0,7
P =
7.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Jaka część wartości leży między 174,85 a 186,75 cm? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 178σ = 7x1 = 174,85x2 = 186,75
P =
8.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 20% wszystkich wartości (20. percentyl).
μ = 65σ = 10P = 20%
x = pkt
9.Przedziały ufnościŚredni
U 16 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią 2,2 i odchylenie standardowe 1,4. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99 % dla średniej różnicy.
n = 16d̄ = 2,2sd = 1,499%t(15) = 2,947
dolna granica = mmHg
10.Przedziały ufnościTrudny
Średnice 25 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 1,1 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: dolna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 24 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 12,401, a 2,5 % powyżej 39,364.
n = 25s = 1,1 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
12 pracowników wykonuje test pisania na klawiaturze przed kursem i po nim. Dla każdej osoby zapisuje się różnicę d = po − przed (słowa na minutę). Średnia różnica wynosi 6,8, a odchylenie standardowe różnic 6,2. Wyznacz statystykę testu dla prób zależnych t dla H₀: μd = 0.
n = 12d̄ = 6,8sd = 6,2
t =
12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 25 pomiarów ma średnią 118,6. Odchylenie standardowe populacji wynosi 4. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 99 % dla średniej.
x̄ = 118,6σ = 4n = 2599%
L =
13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 6Σx = 42Σy = 302Σx² = 364Σy² = 15852Σxy = 2320
r =
14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 80?
n = 6ŷ = 80
x =
15.Testy chi-kwadratŚredni
Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.
N = 1802 × 2
χ² =
16.Testy chi-kwadratTrudny
Tabela pokazuje liczebności obserwowane. Sprawdź na poziomie α = 0,01, czy obie zmienne są niezależne (bez poprawki na ciągłość). Oblicz statystykę testową χ², a potem porównaj ją z wartością krytyczną z tabeli.
N = 2003 × 2α = 0,01
χ² =
3Roztwory
1.Metody badawcze w psychologii
Odpowiedź: A · Test t dla prób niezależnych
Dlaczego to jest odpowiedź
Test t dla prób niezależnych porównuje dwie średnie grupowe. Chi-kwadrat jest dla liczebności; Wilcoxon dla prób zależnych z danymi nieparametrycznymi.
Odpowiedź
A · Test t dla prób niezależnych
2.Metody badawcze w psychologii
Odpowiedź: D · Równomierne rozłożenie zmiennych osobowych, by nie zakłócały wyników
Dlaczego to jest odpowiedź
Losowy przydział równoważy różnice indywidualne między warunkami i wspiera wnioski przyczynowe. Losowy dobór próby dotyczy uogólniania na populację.
Odpowiedź
D · Równomierne rozłożenie zmiennych osobowych, by nie zakłócały wyników
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 17,34
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 181/7 = 25,86
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = (−12,86)² + (−13,86)² + (−14,86)² + 18,14² + 1,143² + 29,14² + (−6,857)² = 1805
Odchylenie standardowe
s = √(1805/6) = 17,34
Odpowiedź
s = 17,34
4.Statystyka opisowa
Odpowiedź: P = 0,3085
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −0,5
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Odpowiedź
P = 0,3085
5.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,1099
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pierwsze i drugie losowanie
P = 5/14 · 4/13 = 20/182 = 0,1099
Odpowiedź
P = 0,1099
6.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,003791
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero i jedna awaria
P(X = 0) = 0,37 = 0,0002187
P(X = 1) = 7·0,7·0,36 = 0,003572
Dodaj
P = 0,0002187 + 0,003572 = 0,003791
Odpowiedź
P = 0,003791
7.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,568
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (174,85 − 178)/7 = −0,45
z₂ = (186,75 − 178)/7 = 1,25
Pole pomiędzy
P = Φ(1,25) − Φ(−0,45) = 0,8944 − 0,3264 = 0,568
Odpowiedź
P = 0,568
8.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 56,58 pkt
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
z dla percentyla
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Powrót do x
x = 65 + −0,8416·10 = 56,58 pkt
Odpowiedź
x = 56,58 pkt
9.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = 1,169 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Wartość krytyczna
df = 15, t = 2,947
Margines błędu
E = 2,947·1,4/√16 = 1,031
Przedział
2,2 ± 1,031 → [1,169, 3,231]
Odpowiedź
dolna granica = 1,169 mmHg
10.Przedziały ufności
Odpowiedź: σ = 0,8589 µm
Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.
Suma kwadratów
(n − 1)s² = 24·1,1² = 29,04
Granice dla σ²
29,04/39,364 = 0,7377
29,04/12,401 = 2,342
Granica dla σ
σ = √0,7377 = 0,8589 µm
Odpowiedź
σ = 0,8589 µm
Przedział 95 % dla σ: [0,8589, 1,53] µm.
11.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 3,799
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Błąd standardowy średniej różnicy
SE = 6,2/√12 = 1,79
Statystyka testowa
t = 6,8/1,79 = 3,799
Odpowiedź
t = 3,799
Przy df = 11 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,201; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.
12.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: L = 116,5
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Margines błędu
E = 2,576·4/√25 = 2,061
Granica przedziału
L = 118,6 − 2,061 = 116,5
Odpowiedź
L = 116,5
13.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9648
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Sumy scentrowane
Sxy = 2320 − 42·302/6 = 206
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 15852 − 302²/6 = 651,3
Współczynnik korelacji
r = 206/√(70·651,3) = 0,9648
Odpowiedź
r = 0,9648
14.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: x = 25,96
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 153/6 = 25,5
ȳ = 471/6 = 78,5
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 508,5
Prosta regresji
b = 508,5/157,5 = 3,229
a = 78,5 − 3,229·25,5 = −3,829
ŷ = −3,829 + 3,229·x
Wyznacz x
x = (80 − (−3,829))/3,229 = 25,96
Odpowiedź
x = 25,96
15.Testy chi-kwadrat
Odpowiedź: χ² = 10,71
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
Liczebności oczekiwane
palący: 100·126/180 = 70, 100·54/180 = 30
niepalący: 80·126/180 = 56, 80·54/180 = 24
Statystyka chi-kwadrat
χ² = (80 − 70)²/70 + (20 − 30)²/30 + (46 − 56)²/56 + (34 − 24)²/24
χ² = 10,71
Odpowiedź
χ² = 10,71
df = 1. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 3,841, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): odrzucona.
16.Testy chi-kwadrat
Odpowiedź: χ² = 20,16
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
Liczebności oczekiwane
linia 1: 24, 16
linia 2: 48, 32
linia 3: 48, 32
Statystyka chi-kwadrat
χ² = (31 − 24)²/24 + (9 − 16)²/16 + (56 − 48)²/48 + (24 − 32)²/32 + (33 − 48)²/48 + (47 − 32)²/32
χ² = 20,16
Decyzja
df = 2, χ²crit = 9,210
20,16 > 9,210
Odpowiedź
χ² = 20,16
χ² jest większe od wartości krytycznej, więc H₀ zostaje odrzucona: zmienne wydają się powiązane.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology