Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Rzetelność metodą połówkową polega na:

APorównaniu wyników w dwóch połowach tego samego testu w celu sprawdzenia zgodności wewnętrznej
BBadaniu dwóch połówek próby w różnym czasie
CWykorzystaniu dwóch obserwatorów, każdego na połowie sesji
DPodziale próby na grupę eksperymentalną i kontrolną oraz porównaniu ich wyników

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Dlaczego wielu badaczy twierdzi, że wartości p należy raportować razem z wielkościami efektu i przedziałami ufności?

APrzedziały ufności są potrzebne tylko w badaniach jakościowych
BWielkości efektu sprawiają, że liczebność próby jest bez znaczenia dla istotności
CWartość p nie pokazuje, jak duży ani jak precyzyjnie oszacowany jest efekt
DWartości p pokazują prawdopodobieństwo, że hipoteza jest prawdziwa

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 23, 44, 14, 40, 47.

n = 5

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 10. Jaka część P wartości leży powyżej 160?

μ = 170σ = 10x = 160

P =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,25, 0,35, 0,2, 0,15

Var(X) =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 6 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,5, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 4 poprawnych odpowiedzi?

n = 6p = 0,5k = 4

P =

7.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,2961. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,2961

z =

8.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 10% wszystkich wartości (10. percentyl).

μ = 65σ = 10P = 10%

x = pkt

9.Przedziały ufnościŚredni

Próba 12 elementów ma średnią 48,5 i odchylenie standardowe s = 3. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 12x̄ = 48,5s = 399%t(11) = 3,106

górna granica =

10.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 16. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5?

σ = 16E = 1,599%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 36 studentów ma średni wynik 197,7 i odchylenie standardowe z próby 10. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 197,7s = 10n = 36

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

W badaniu klinicznym wyzdrowiało 36 z 80 pacjentów leczonych metodą A i 82 z 200 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 36n₁ = 80x₂ = 82n₂ = 200

z =

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5Σx = 30Σy = 364Σx² = 220Σy² = 27090Σxy = 2334

r =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 7?

n = 5ŷ = 7

x =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 1402 × 3

χ² =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Test zgodności chi-kwadrat sprawdza, czy liczebności w 9 kategoriach mają rozkład Poissona, którego średnią estymuje się z tych samych danych. Ile stopni swobody df ma test?

k = 9

df =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: A · Porównaniu wyników w dwóch połowach tego samego testu w celu sprawdzenia zgodności wewnętrznej

Dlaczego to jest odpowiedź

Jeśli obie połowy mierzą ten sam konstrukt, wyniki w nich powinny być silnie skorelowane. Alfa Cronbacha rozszerza tę ideę na wszystkie możliwe podziały.

Odpowiedź

A · Porównaniu wyników w dwóch połowach tego samego testu w celu sprawdzenia zgodności wewnętrznej

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: C · Wartość p nie pokazuje, jak duży ani jak precyzyjnie oszacowany jest efekt

Dlaczego to jest odpowiedź

Wartość p silnie zależy od liczebności próby i wskazuje tylko, jak zaskakujące są dane przy hipotezie zerowej. Wielkości efektu pokazują rozmiar, a przedziały – precyzję.

Odpowiedź

C · Wartość p nie pokazuje, jak duży ani jak precyzyjnie oszacowany jest efekt

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 14,36

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 168/5 = 33,6

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−10,6)² + 10,4² + (−19,6)² + 6,4² + 13,4² = 825,2

Odchylenie standardowe

s = √(825,2/4) = 14,36

Odpowiedź

s = 14,36

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,8413

Standaryzuj

z = −1

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Odpowiedź

P = 0,8413

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 1,228

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,05 + 1·0,25 + 2·0,35 + 3·0,2 + 4·0,15 = 2,15

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,05 + 1·0,25 + 4·0,35 + 9·0,2 + 16·0,15 = 5,85

Wariancja

Var(X) = 5,85 − 2,15² = 1,228

Odpowiedź

Var(X) = 1,228

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,2344

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Wzór dwumianowy

P(X = 4) = 15·0,5⁴·0,5² = 15·0,0625·0,25 = 0,2344

Odpowiedź

P = 0,2344

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 0,38

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = (1 + 0,2961)/2 = 0,6480

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,6480 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 0,38

Odpowiedź

z = 0,38

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 52,18 pkt

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

z dla percentyla

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Powrót do x

x = 65 + −1,282·10 = 52,18 pkt

Odpowiedź

x = 52,18 pkt

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 51,19

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 11, t = 3,106

Margines błędu

E = 3,106·3/√12 = 2,69

Przedział

48,5 ± 2,69 → [45,81, 51,19]

Odpowiedź

górna granica = 51,19

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 756

Wyznacz n

n = (2,576·16/1,5)² = 755

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 756

Odpowiedź

n = 756

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −1,38

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667

Statystyka testowa

t = (197,7 − 200)/1,667 = −1,38

Odpowiedź

t = −1,38

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = 0,6124

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Frakcje z prób

p̂₁ = 36/80 = 0,45

p̂₂ = 82/200 = 0,41

p̂ = 118/280 = 0,4214

Błąd standardowy przy H₀

SE = √(0,4214·0,5786·(1/80 + 1/200)) = 0,06532

Statystyka testowa

z = (0,45 − 0,41)/0,06532 = 0,6124

Odpowiedź

z = 0,6124

|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9758

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 2334 − 30·364/5 = 150

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 27090 − 364²/5 = 590,8

Współczynnik korelacji

r = 150/√(40·590,8) = 0,9758

Odpowiedź

r = 0,9758

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 3,158

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 62/5 = 12,4

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 76

Prosta regresji

b = 76/40 = 1,9

a = 12,4 − 1,9·6 = 1

ŷ = 1 + 1,9·x

Wyznacz x

x = (7 − 1)/1,9 = 3,158

Odpowiedź

x = 3,158

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 6,19

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

zmiana dzienna: 100·35/140 = 25, 100·49/140 = 35, 100·56/140 = 40

zmiana nocna: 40·35/140 = 10, 40·49/140 = 14, 40·56/140 = 16

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (29 − 25)²/25 + (29 − 35)²/35 + (42 − 40)²/40 + (6 − 10)²/10 + (20 − 14)²/14 + (14 − 16)²/16

χ² = 6,19

Odpowiedź

χ² = 6,19

df = 2. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 5,991, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): odrzucona.

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: df = 7

Stopnie swobody

df = 9 − 1 − 1 = 7

Odpowiedź

df = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology