Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Obciążenie ze strony eksperymentatora najbardziej bezpośrednio zmniejsza:

AZastosowanie hipotezy jednostronnej
BZwiększenie liczebności próby
CKorzystanie wyłącznie z ochotników
DZbieranie danych przez badacza, który nie zna hipotezy ani warunków

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Zwiększenie liczebności próby w badaniu najbardziej bezpośrednio:

AUsuwa z próby wszelkie obciążenia
BZwiększa moc statystyczną wykrycia rzeczywistego efektu
CZwiększa wielkość efektu
DGwarantuje statystycznie istotny wynik, jeśli jakikolwiek efekt istnieje

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 57, 24, 27, 17, 57.

n = 5

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 12. Jaka część P wartości leży powyżej 158?

μ = 170σ = 12x = 158

P =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

Uczciwą kostką rzucamy 4 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?

n = 4

P =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = −2X + 4. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,25, 0,25, 0,25Y = −2X + 4

σ_Y =

7.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Jaka część wartości leży między 500 a 510 h? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 500σ = 40x₁ = 500x₂ = 510

P =

8.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 30% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 65 pktσ = 10 pkt30%

x = pkt

9.Przedziały ufnościŚredni

Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 60 telefonów, średnia 71 h, znane odchylenie standardowe 20 h. Model 2: 40 telefonów, średnia 63,5 h, znane odchylenie standardowe 14 h. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 71 hσ₁ = 20 hn₂ = 40x̄₂ = 63,5 hσ₂ = 14 h99%

E = h

10.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 34. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2,5?

σ = 34E = 2,590%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

8 pracowników wykonuje test pisania na klawiaturze przed kursem i po nim. Dla każdej osoby zapisuje się różnicę d = po − przed (słowa na minutę). Średnia różnica wynosi 5,8, a odchylenie standardowe różnic 4,1. Wyznacz statystykę testu dla prób zależnych t dla H₀: μ_d = 0.

n = 8d̄ = 5,8s_d = 4,1

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 64 pomiarów ma średnią 53. Odchylenie standardowe populacji wynosi 10. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 95 % dla średniej.

x̄ = 53σ = 10n = 6495%

L =

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 5

r² =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 18?

n = 6ŷ = 18

x =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 1202 × 2

χ² =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Test zgodności chi-kwadrat sprawdza, czy liczebności w 9 kategoriach mają rozkład Poissona, którego średnią estymuje się z tych samych danych. Korzystając z tabeli, wyznacz wartość krytyczną χ²_crit na poziomie istotności α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: D · Zbieranie danych przez badacza, który nie zna hipotezy ani warunków

Dlaczego to jest odpowiedź

Eksperymentatorzy znający hipotezę mogą nieświadomie wpływać na uczestników lub zapis wyników. Ogranicza to procedura pojedynczo lub podwójnie ślepa oraz standaryzowane instrukcje.

Odpowiedź

D · Zbieranie danych przez badacza, który nie zna hipotezy ani warunków

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: B · Zwiększa moc statystyczną wykrycia rzeczywistego efektu

Dlaczego to jest odpowiedź

Większe próby zmniejszają błąd standardowy, co zwiększa moc. Nie zmieniają rzeczywistej wielkości efektu ani nie usuwają błędów systematycznych.

Odpowiedź

B · Zwiększa moc statystyczną wykrycia rzeczywistego efektu

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 19,15

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 182/5 = 36,4

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 20,6² + (−12,4)² + (−9,4)² + (−19,4)² + 20,6² = 1467

Odchylenie standardowe

s = √(1467/4) = 19,15

Odpowiedź

s = 19,15

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,8413

Standaryzuj

z = −1

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Odpowiedź

P = 0,8413

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,5177

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zdarzenie przeciwne

P(brak szóstki) = (5/6)⁴ = 0,4823

P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Odpowiedź

P = 0,5177

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 22,36

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Rozrzut X

μ = 25, Var(X) = 125, σ_X = 11,18

Zmiana liniowa

σ_Y = |−2|·11,18 = 22,36

Odpowiedź

σ_Y = 22,36

Średnia się przesuwa: E(Y) = −2·25 + 4 = −46.

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,09871

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (500 − 500)/40 = 0

z₂ = (510 − 500)/40 = 0,25

Pole pomiędzy

P = Φ(0,25) − Φ(0) = 0,5987 − 0,5 = 0,09871

Odpowiedź

P = 0,09871

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 70,2 pkt

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,7

z z tablicy

z ≈ 0,52

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 65 + 0,52·10 = 70,2 pkt

Odpowiedź

x = 70,2 pkt

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 8,761 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estymator punktowy

x̄₁ − x̄₂ = 71 − 63,5 = 7,5

Błąd standardowy

SE = √(20²/60 + 14²/40) = 3,401

Margines błędu

E = 2,576·3,401 = 8,761

Odpowiedź

E = 8,761 h

Przedział zawiera 0, więc dane nie wykazują istotnej różnicy.

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 501

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = (1,645·34/2,5)² = 500,5

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 501

Odpowiedź

n = 501

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 4,001

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Błąd standardowy średniej różnicy

SE = 4,1/√8 = 1,45

Statystyka testowa

t = 5,8/1,45 = 4,001

Odpowiedź

t = 4,001

Przy df = 7 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,365; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: L = 50,55

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Margines błędu

E = 1,96·10/√64 = 2,45

Granica przedziału

L = 53 − 2,45 = 50,55

Odpowiedź

L = 50,55

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,8644

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 279/5 = 55,8

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 92

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 244,8

Współczynnik determinacji

r² = 92²/(40·244,8) = 0,8644

Odpowiedź

r² = 0,8644

Około 86,44% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 7,299

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 104/6 = 17,33

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 156

Prosta regresji

b = 156/70 = 2,229

a = 17,33 − 2,229·7 = 1,733

ŷ = 1,733 + 2,229·x

Wyznacz x

x = (18 − 1,733)/2,229 = 7,299

Odpowiedź

x = 7,299

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 0,625

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

mężczyźni: 40·72/120 = 24, 40·48/120 = 16

kobiety: 80·72/120 = 48, 80·48/120 = 32

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (22 − 24)²/24 + (18 − 16)²/16 + (50 − 48)²/48 + (30 − 32)²/32

χ² = 0,625

Odpowiedź

χ² = 0,625

df = 1. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 3,841, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): brak podstaw do odrzucenia.

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ²_crit = 14,07

Stopnie swobody

df = 9 − 1 − 1 = 7

Tabela

χ²_crit(df = 7, α = 0,05) = 14,067

Odpowiedź

χ²_crit = 14,067

Odrzuć H₀, jeśli obliczone χ² jest większe od tej wartości.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology