Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Dlaczego kategorie zachowań w obserwacji operacjonalizuje się przed zbieraniem danych?

ABy obserwacja stała się eksperymentem
BBy uczestnicy dokładnie wiedzieli, co jest rejestrowane
CBy obserwatorzy rejestrowali te same zachowania spójnie, co zwiększa rzetelność
DBy można było zmienić hipotezę po obejrzeniu danych

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Badanie na 10 uczestnikach wykazuje duży, ale nieistotny efekt. Jaki wniosek jest najwłaściwszy?

ABadanie mogło mieć za małą moc, więc wynik jest nierozstrzygający
BBadanie dowodzi, że hipoteza zerowa jest prawdziwa, ponieważ efekt nie był istotny
CEfekt musi być błędem I rodzaju
DWielkość efektu musiała zostać źle obliczona

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 40, 19, 34, 59, 11, 18, 17.

n = 7

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 15. Jaka część P wartości leży powyżej 72,5?

μ = 50σ = 15x = 72,5

P =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

Na ile sposobów N można wybrać komisję 3 osób z grupy 14 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 14k = 3

N =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 8 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,2, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 5 poprawnych odpowiedzi?

n = 8p = 0,2k = 5

P =

7.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Jaka część wartości leży między 62,5 a 80,5 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 65σ = 10x₁ = 62,5x₂ = 80,5

P =

8.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 97,5% wszystkich wartości (97,5. percentyl).

μ = 65σ = 10P = 97,5%

x = pkt

9.Przedziały ufnościŚredni

U 13 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią −5,1 i odchylenie standardowe 0,7. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 95 % dla średniej różnicy.

n = 13d̄ = −5,1s_d = 0,795%t(12) = 2,179

dolna granica = mmHg

10.Przedziały ufnościTrudny

Średnice 30 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 7,7 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: górna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 29 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 16,047, a 2,5 % powyżej 45,722.

n = 30s = 7,7 µmχ² = 16,047, 45,722

σ = µm

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 36 studentów ma średni wynik 94,83 i odchylenie standardowe z próby 10. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 94,83s = 10n = 36

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

W badaniu klinicznym wyzdrowiało 78 z 120 pacjentów leczonych metodą A i 145 z 250 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 78n₁ = 120x₂ = 145n₂ = 250

z =

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6Σx = 42Σy = 85Σx² = 364Σy² = 1543Σxy = 748

r =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 3.

n = 5x = 3

ŷ =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. W teście niezależności chi-kwadrat wyznacz liczebność oczekiwaną E dla komórki „zmiana nocna, bez wady”.

suma wiersza = 68suma kolumny = 28N = 164

E =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Test zgodności chi-kwadrat sprawdza, czy liczebności w 6 kategoriach mają rozkład Poissona, którego średnią estymuje się z tych samych danych. Ile stopni swobody df ma test?

k = 6

df =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: C · By obserwatorzy rejestrowali te same zachowania spójnie, co zwiększa rzetelność

Dlaczego to jest odpowiedź

Jasne, obserwowalne kategorie (np. „uderza otwartą dłonią") ograniczają subiektywne oceny i zwiększają rzetelność między obserwatorami.

Odpowiedź

C · By obserwatorzy rejestrowali te same zachowania spójnie, co zwiększa rzetelność

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: A · Badanie mogło mieć za małą moc, więc wynik jest nierozstrzygający

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy małych próbach nawet rzeczywiste efekty często nie osiągają istotności (błąd II rodzaju). Badacze powinni podać wielkość efektu i przedział ufności oraz powtórzyć badanie na większej próbie.

Odpowiedź

A · Badanie mogło mieć za małą moc, więc wynik jest nierozstrzygający

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 16,99

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 198/7 = 28,29

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 11,71² + (−9,286)² + 5,714² + 30,71² + (−17,29)² + (−10,29)² + (−11,29)² = 1731

Odchylenie standardowe

s = √(1731/6) = 16,99

Odpowiedź

s = 16,99

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,06681

Standaryzuj

z = 1,5

Tablica rozkładu normalnego

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Odpowiedź

P = 0,06681

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 364

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(14, 3) = (14·13·12)/(3·2·1) = 364

Odpowiedź

N = 364

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,009175

Wzór dwumianowy

P(X = 5) = 56·0,2⁵·0,8³ = 56·0,00032·0,512 = 0,009175

Odpowiedź

P = 0,009175

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,5381

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (62,5 − 65)/10 = −0,25

z₂ = (80,5 − 65)/10 = 1,55

Pole pomiędzy

P = Φ(1,55) − Φ(−0,25) = 0,9394 − 0,4013 = 0,5381

Odpowiedź

P = 0,5381

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 84,6 pkt

z dla percentyla

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Powrót do x

x = 65 + 1,96·10 = 84,6 pkt

Odpowiedź

x = 84,6 pkt

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = −5,523 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Wartość krytyczna

df = 12, t = 2,179

Margines błędu

E = 2,179·0,7/√13 = 0,423

Przedział

−5,1 ± 0,423 → [−5,523, −4,677]

Odpowiedź

dolna granica = −5,523 mmHg

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: σ = 10,35 µm

Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.

Suma kwadratów

(n − 1)s² = 29·7,7² = 1719

Granice dla σ²

1719/45,722 = 37,61

1719/16,047 = 107,1

Granica dla σ

σ = √107,1 = 10,35 µm

Odpowiedź

σ = 10,35 µm

Przedział 95 % dla σ: [6,132, 10,35] µm.

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −3,102

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667

Statystyka testowa

t = (94,83 − 100)/1,667 = −3,102

Odpowiedź

t = −3,102

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = 1,288

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Frakcje z prób

p̂₁ = 78/120 = 0,65

p̂₂ = 145/250 = 0,58

p̂ = 223/370 = 0,6027

Błąd standardowy przy H₀

SE = √(0,6027·0,3973·(1/120 + 1/250)) = 0,05434

Statystyka testowa

z = (0,65 − 0,58)/0,05434 = 1,288

Odpowiedź

z = 1,288

|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9935

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 748 − 42·85/6 = 153

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 1543 − 85²/6 = 338,8

Współczynnik korelacji

r = 153/√(70·338,8) = 0,9935

Odpowiedź

r = 0,9935

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 10,5

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 102/5 = 20,4

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 132

Prosta regresji

b = 132/40 = 3,3

a = 20,4 − 3,3·6 = 0,6

ŷ = 0,6 + 3,3·x

Prognoza

ŷ = 0,6 + 3,3·3 = 10,5

Odpowiedź

ŷ = 10,5

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: E = 11,61

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebność oczekiwana

E = 68·28/164 = 11,61

Odpowiedź

E = 11,61

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: df = 4

Stopnie swobody

df = 6 − 1 − 1 = 4

Odpowiedź

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology