Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
Testy chi-kwadrat
- Statystyka testowa
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Test zgodności
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Niezależność
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Wartości krytyczne (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Decyzja
- odrzuć H0, jeśli χ² > χ²crit
2Zadania do ćwiczenia
1.Metody badawcze w psychologiiŚredni
Który plan wykorzystuje różnych uczestników w każdym warunku?
- APlan par dobranych z tymi samymi osobami
- BPlan grup niezależnych
- CPlan wewnątrzosobniczy
- DPlan z powtarzanym pomiarem
2.Metody badawcze w psychologiiTrudny
Interpretacyjna analiza fenomenologiczna (IPA) ma przede wszystkim na celu:
- AZliczanie częstości słów w tekstach
- BDokładny pomiar czasów reakcji
- CTestowanie hipotez przyczynowych na dużych próbach
- DZbadanie, jak jednostki nadają sens własnym przeżytym doświadczeniom
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 42, 33, 38, 33, 14, 48, 28.
n = 7
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 10. Jaka część P wartości leży powyżej 174?
μ = 170σ = 10x = 174
P =
5.PrawdopodobieństwoŚredni
Uczciwą kostką rzucamy 2 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?
n = 2
P =
6.PrawdopodobieństwoTrudny
Test ma 9 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,1, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 3 poprawnych odpowiedzi?
n = 9p = 0,1k = 3
P =
7.Rozkład normalnyŚredni
X ma rozkład normalny ze średnią 120 mm i odchyleniem standardowym 0,3 mm; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 80 mm i odchyleniem standardowym 0,4 mm. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 200,4 mm. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 200,4 mm
P =
8.Rozkład normalnyTrudny
Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,04 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,015 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
otwór: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
9.Przedziały ufnościŚredni
Próba 12 elementów ma średnią 110 i odchylenie standardowe s = 1,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.
n = 12x̄ = 110s = 1,599%t(11) = 3,106
dolna granica =
10.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 12. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5?
σ = 12E = 1,590%
n =
11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 7 uczniów, średni wynik 56,5, odchylenie standardowe 10,5. Grupa 2: 5 uczniów, średni wynik 61,6, odchylenie standardowe 8,5. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).
n₁ = 7x̄₁ = 56,5s₁ = 10,5n₂ = 5x̄₂ = 61,6s₂ = 8,5
t =
12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
W badaniu klinicznym wyzdrowiało 130 z 200 pacjentów leczonych metodą A i 64 z 80 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 130n₁ = 200x₂ = 64n₂ = 80
z =
13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
n = 6
r² =
14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (10, 55). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 5(10, 55)
e =
15.Testy chi-kwadratŚredni
Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. W teście niezależności chi-kwadrat wyznacz liczebność oczekiwaną E dla komórki „wieś, średni”.
suma wiersza = 76suma kolumny = 55N = 154
E =
16.Testy chi-kwadratTrudny
Test zgodności chi-kwadrat sprawdza, czy liczebności w 5 kategoriach mają rozkład Poissona, którego średnią estymuje się z tych samych danych. Korzystając z tabeli, wyznacz wartość krytyczną χ²crit na poziomie istotności α = 0,01.
α = 0,01
χ²crit =
3Roztwory
1.Metody badawcze w psychologii
Odpowiedź: B · Plan grup niezależnych
Dlaczego to jest odpowiedź
W planie grup niezależnych każdy warunek ma innych uczestników, co eliminuje efekty kolejności, ale wiąże się z ryzykiem wpływu zmiennych osobowych.
Odpowiedź
B · Plan grup niezależnych
2.Metody badawcze w psychologii
Odpowiedź: D · Zbadanie, jak jednostki nadają sens własnym przeżytym doświadczeniom
Dlaczego to jest odpowiedź
IPA bada dogłębnie małe, homogeniczne próby, analizując, jak uczestnicy interpretują znaczące doświadczenia, przy czym badacz interpretuje ich nadawanie sensu.
Odpowiedź
D · Zbadanie, jak jednostki nadają sens własnym przeżytym doświadczeniom
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 10,9
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 236/7 = 33,71
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = 8,286² + (−0,7143)² + 4,286² + (−0,7143)² + (−19,71)² + 14,29² + (−5,714)² = 713,4
Odchylenie standardowe
s = √(713,4/6) = 10,9
Odpowiedź
s = 10,9
4.Statystyka opisowa
Odpowiedź: P = 0,3446
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 0,4
Tablica rozkładu normalnego
Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446
Odpowiedź
P = 0,3446
5.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,3056
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zdarzenie przeciwne
P(brak szóstki) = (5/6)2 = 0,6944
P = 1 − 0,6944 = 0,3056
Odpowiedź
P = 0,3056
6.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,04464
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Wzór dwumianowy
P(X = 3) = 84·0,13·0,96 = 84·0,001·0,5314 = 0,04464
Odpowiedź
P = 0,04464
7.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,2119
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład sumy
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Standaryzuj
z = (200,4 − 200)/0,5 = 0,8
Górny ogon
P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119
Odpowiedź
P = 0,2119
8.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,9452
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład różnicy
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm
Standaryzuj
z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452
Odpowiedź
P = 0,9452
9.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = 108,7
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 11, t = 3,106
Margines błędu
E = 3,106·1,5/√12 = 1,345
Przedział
110 ± 1,345 → [108,7, 111,3]
Odpowiedź
dolna granica = 108,7
10.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 174
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,645·12/1,5)² = 173,2
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 174
Odpowiedź
n = 174
11.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −0,8934
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Wariancja łączna
sp² = (6·10,5² + 4·8,5²)/10 = 95,05
sp = 9,749
Błąd standardowy
SE = 9,749·√(1/7 + 1/5) = 5,709
Statystyka testowa
t = (56,5 − 61,6)/5,709 = −0,8934
Odpowiedź
t = −0,8934
Przy df = 10 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,228; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.
12.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = −2,458
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Frakcje z prób
p̂₁ = 130/200 = 0,65
p̂₂ = 64/80 = 0,8
p̂ = 194/280 = 0,6929
Błąd standardowy przy H₀
SE = √(0,6929·0,3071·(1/200 + 1/80)) = 0,06103
Statystyka testowa
z = (0,65 − 0,8)/0,06103 = −2,458
Odpowiedź
z = −2,458
|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
13.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r² = 0,9557
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 153/6 = 25,5
ȳ = 461/6 = 76,83
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 580,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2239
Współczynnik determinacji
r² = 580,5²/(157,5·2239) = 0,9557
Odpowiedź
r² = 0,9557
Około 95,57% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
14.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = −5,3
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 258/5 = 51,6
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116
Prosta regresji
b = 116/40 = 2,9
a = 51,6 − 2,9·7 = 31,3
ŷ = 31,3 + 2,9·x
Wartość przewidywana
ŷ = 31,3 + 2,9·10 = 60,3
Reszta
e = 55 − 60,3 = −5,3
Odpowiedź
e = −5,3
Punkt leży pod prostą.
15.Testy chi-kwadrat
Odpowiedź: E = 27,14
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
Liczebność oczekiwana
E = 76·55/154 = 27,14
Odpowiedź
E = 27,14
16.Testy chi-kwadrat
Odpowiedź: χ²crit = 11,35
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
Stopnie swobody
df = 5 − 1 − 1 = 3
Tabela
χ²crit(df = 3, α = 0,01) = 11,345
Odpowiedź
χ²crit = 11,345
Odrzuć H₀, jeśli obliczone χ² jest większe od tej wartości.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology