Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne
P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Rozkład normalny

Wynik z
z = (x − μ)/σ
Poniżej x
P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentyl
x = μ + z·σ

Metoda

  1. Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
  2. Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
  3. Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
  4. Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

  1. Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
  2. Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
  3. Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
  4. Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n

Metoda

  1. Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
  2. Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
  3. Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
  4. Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy
b = Sxy/Sxx
Wyraz wolny
a = ȳ − b·x̄
Korelacja
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reszta
e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa
χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja
odrzuć H0, jeśli χ² > χ²crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Badanie przekrojowe porównuje jednocześnie korzystanie z technologii przez 20-, 40- i 60-latków. Jaki problem może zakłócać porównanie wiekowe?

  1. AEfekty kolejności
  2. BEfekty praktyki
  3. CEfekty podłogowe
  4. DEfekty kohorty
2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Metaanaliza łączy 40 badań nad pewną terapią. Dlaczego jej łączna wielkość efektu może nadal być zbyt duża?

  1. AZ powodu obciążenia publikacyjnego może brakować nieopublikowanych badań z wynikami zerowymi
  2. BMetaanalizy nie mogą obejmować badań randomizowanych
  3. CMetaanalizy zawsze dają mniejsze efekty niż pojedyncze badania, które obejmują
  4. DŁączenie badań zawsze usuwa wszelkie obciążenia
3.Statystyka opisowaŚredni
152025303540455055

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 25, 26, 55, 13, 54, 44.

n = 6
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
z −2−1012

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 60. Jaka część P wartości leży poniżej 440?

μ = 500σ = 60x = 440
P =
5.PrawdopodobieństwoŚredni
czerwone: 4niebieskie: 9

W worku jest 4 kul czerwonych i 9 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?

4 / 9
P =
6.PrawdopodobieństwoTrudny
n = 9, p = 0,3: P(X ≤ 1) = ?k0123456789

Testuje się 9 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,3. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 9p = 0,3
P =
7.Rozkład normalnyŚredni
72 kg73 kgT = X₁ + … + X₆?

Masy pudeł są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 12 kg i odchyleniem standardowym 0,8 kg. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 6 z nich przekroczy 73 kg. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 6> 73 kg
P =
8.Rozkład normalnyTrudny
μ = 500x = ?20%

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 20% wszystkich wartości (20. percentyl).

μ = 500σ = 40P = 20%
x = h
9.Przedziały ufnościŚredni
n = 11, s = 6,5LUx̄ = 53E = ?90%

Próba 11 elementów ma średnią 53 i odchylenie standardowe s = 6,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 11x̄ = 53s = 6,590%t(10) = 1,812
E =
10.Przedziały ufnościTrudny
σ = 21, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 290%

Odchylenie standardowe populacji wynosi 21. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2?

σ = 21E = 290%
n =
11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
t −2,06402,064

Próba 25 studentów ma średni wynik 126,8 i odchylenie standardowe z próby 20. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 126,8s = 20n = 25
t =
12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
μ₀x̄c

Jednostronny test z dla H₀: μ = 80 przeciw H₁: μ > 80 przeprowadza się na poziomie α = 0,05 na próbie o liczebności 100; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 20. W rzeczywistości średnia wynosi 84,8. Wyznacz moc 1 − β testu w procentach.

μ₀ = 80μ = 84,8σ = 20n = 100α = 0,05
1 − β = %
13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
xy17512054237526832982xy20253050607080

Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 5
r² =
14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
xy146217702090239926112xy1520256080100x = 21,5

Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 21,5.

n = 5x = 21,5
ŷ =
15.Testy chi-kwadratŚredni
kaszelbrak kaszluSumapalący253560niepalący7921100Suma10456160

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 1602 × 2
χ² =
16.Testy chi-kwadratTrudny
zaliczoneniezaliczoneSumazakład A293160zakład B433780zakład C85260Suma80120200dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Tabela pokazuje liczebności obserwowane. Sprawdź na poziomie α = 0,05, czy obie zmienne są niezależne (bez poprawki na ciągłość). Oblicz statystykę testową χ², a potem porównaj ją z wartością krytyczną z tabeli.

N = 2003 × 2α = 0,05
χ² =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: D · Efekty kohorty

Dlaczego to jest odpowiedź

Różne grupy wiekowe wychowywały się w różnych warunkach historycznych, więc różnice mogą odzwierciedlać pokolenie (kohortę), a nie samo starzenie się.

Odpowiedź

D · Efekty kohorty
2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: A · Z powodu obciążenia publikacyjnego może brakować nieopublikowanych badań z wynikami zerowymi

Dlaczego to jest odpowiedź

Jeśli wyniki zerowe są rzadziej publikowane, łączny efekt jest zawyżony. Wykresy lejkowe i poszukiwanie nieopublikowanych danych pomagają to wykryć i ograniczyć.

Odpowiedź

A · Z powodu obciążenia publikacyjnego może brakować nieopublikowanych badań z wynikami zerowymi
3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 17,31

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 217/6 = 36,17

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−11,17)² + (−10,17)² + 18,83² + (−23,17)² + 17,83² + 7,833² = 1499

Odchylenie standardowe

s = √(1499/5) = 17,31

Odpowiedź

s = 17,31
4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,1587

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Standaryzuj

z = −1

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587

Odpowiedź

P = 0,1587
5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,07692

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pierwsze i drugie losowanie

P = 4/13 · 3/12 = 12/156 = 0,07692

Odpowiedź

P = 0,07692
6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,196

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,79 = 0,04035
P(X = 1) = 9·0,3·0,78 = 0,1556

Dodaj

P = 0,04035 + 0,1556 = 0,196

Odpowiedź

P = 0,196
7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,305

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy całkowitej

μT = 72 kg, σT = 0,8·√6 = 1,96 kg

Standaryzuj

z = (73 − 72)/1,96 = 0,51

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(0,51) = 0,305

Odpowiedź

P = 0,305
8.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 466,3 h

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

z dla percentyla

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Powrót do x

x = 500 + −0,8416·40 = 466,34 h

Odpowiedź

x = 466,34 h
9.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 3,551

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 10, t = 1,812

Margines błędu

E = 1,812·6,5/√11 = 3,551

Odpowiedź

E = 3,551
10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 299

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = (1,645·21/2)² = 298,3

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 299

Odpowiedź

n = 299
11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 1,7

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 20/√25 = 20/5 = 4

Statystyka testowa

t = (126,8 − 120)/4 = 1,7

Odpowiedź

t = 1,7
t0,025; df = 24 = 2,064

|t| < 2.064, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: 1 − β = 77,49 %

Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Krytyczna średnia z próby

SE = 20/√100 = 2
x̄c = 80 + 1,645·2 = 83,29

z przy prawdziwej średniej

z = (83,29 − 84,8)/2 = −0,755

Moc

moc = P(Z > −0,755) = 77,49%
1 − β = 77,49%

Odpowiedź

1 − β = 77,49%
13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,8717

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 345/5 = 69

Sumy kwadratów i iloczynów

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 273
Syy = Σ(y − ȳ)² = 950

Współczynnik determinacji

r² = 273²/(90·950) = 0,8717

Odpowiedź

r² = 0,8717

Około 87,17% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 93,05

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 433/5 = 86,6

Sumy kwadratów i iloczynów

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 387

Prosta regresji

b = 387/90 = 4,3
a = 86,6 − 4,3·20 = 0,6
ŷ = 0,6 + 4,3·x

Prognoza

ŷ = 0,6 + 4,3·21,5 = 93,05

Odpowiedź

ŷ = 93,05
15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 22,97

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

palący: 60·104/160 = 39, 60·56/160 = 21
niepalący: 100·104/160 = 65, 100·56/160 = 35

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (25 − 39)²/39 + (35 − 21)²/21 + (79 − 65)²/65 + (21 − 35)²/35
χ² = 22,97

Odpowiedź

χ² = 22,97

df = 1. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 3,841, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): odrzucona.

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 25,82

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

zakład A: 24, 36
zakład B: 32, 48
zakład C: 24, 36

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (29 − 24)²/24 + (31 − 36)²/36 + (43 − 32)²/32 + (37 − 48)²/48 + (8 − 24)²/24 + (52 − 36)²/36
χ² = 25,82

Decyzja

df = 2, χ²crit = 5,991
25,82 > 5,991

Odpowiedź

χ² = 25,82

χ² jest większe od wartości krytycznej, więc H₀ zostaje odrzucona: zmienne wydają się powiązane.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology