Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Eksperci sprawdzają, czy zadania egzaminu z matematyki obejmują wszystkie tematy programu. Ocenia to:

ARzetelność test-retest
BTrafność prognostyczną
CTrafność treściową
DTrafność ekologiczną

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Badanie raportuje t(28) = 2,50, p = .018 dla dwóch niezależnych grup równej wielkości. Ilu uczestników wzięło udział?

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 48, 59, 25, 27, 17.

n = 5

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 75. Jaka część P wartości leży poniżej 650?

μ = 500σ = 75x = 650

P =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

σ =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = 5X + 20. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,35, 0,3, 0,1Y = 5X + 20

σ_Y =

7.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Jaka część wartości leży między 244 a 254 g? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 250σ = 5x₁ = 244x₂ = 254

P =

8.Rozkład normalnyTrudny

Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,02 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,01 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

otwór: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

9.Przedziały ufnościŚredni

Próba 7 elementów ma średnią 84 i odchylenie standardowe s = 6. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 7x̄ = 84s = 695%t(6) = 2,447

górna granica =

10.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 20. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 3?

σ = 20E = 395%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 16 studentów ma średni wynik 190,3 i odchylenie standardowe z próby 15. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 190,3s = 15n = 16

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 25 pomiarów ma średnią 97,9. Odchylenie standardowe populacji wynosi 15. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 95 % dla średniej.

x̄ = 97,9σ = 15n = 2595%

L =

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5

r =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (3,5, 66). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 66)

e =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. W teście niezależności chi-kwadrat wyznacz liczebność oczekiwaną E dla komórki „wieś, niski”.

suma wiersza = 73suma kolumny = 78N = 165

E =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Test niezależności chi-kwadrat przeprowadza się na tabeli kontyngencji o 3 wierszach i 4 kolumnach (bez sum). Korzystając z tabeli, wyznacz wartość krytyczną χ²_crit na poziomie istotności α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: C · Trafność treściową

Dlaczego to jest odpowiedź

Trafność treściowa to stopień, w jakim miara obejmuje wszystkie istotne aspekty konstruktu; zwykle oceniają ją eksperci.

Odpowiedź

C · Trafność treściową

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: C · 30

Dlaczego to jest odpowiedź

28 stopni swobody oznacza 28 + 2 = 30 uczestników, po 15 w każdej grupie.

Odpowiedź

C · 30

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 17,56

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 176/5 = 35,2

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 12,8² + 23,8² + (−10,2)² + (−8,2)² + (−18,2)² = 1233

Odchylenie standardowe

s = √(1233/4) = 17,56

Odpowiedź

s = 17,56

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,9772

Standaryzuj

z = 2

Tablica rozkładu normalnego

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Odpowiedź

P = 0,9772

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 0,8367

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Wariancja

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

σ = √0,7 = 0,8367

Odpowiedź

σ = 0,8367

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 4,71

Rozrzut X

μ = 1,25, Var(X) = 0,8875, σ_X = 0,9421

Zmiana liniowa

σ_Y = |5|·0,9421 = 4,71

Odpowiedź

σ_Y = 4,71

Średnia się przesuwa: E(Y) = 5·1,25 + 20 = 26,25.

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,6731

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (244 − 250)/5 = −1,2

z₂ = (254 − 250)/5 = 0,8

Pole pomiędzy

P = Φ(0,8) − Φ(−1,2) = 0,7881 − 0,1151 = 0,6731

Odpowiedź

P = 0,6731

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,8133

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład różnicy

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm

Standaryzuj

z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133

Odpowiedź

P = 0,8133

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 89,55

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 6, t = 2,447

Margines błędu

E = 2,447·6/√7 = 5,549

Przedział

84 ± 5,549 → [78,45, 89,55]

Odpowiedź

górna granica = 89,55

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 171

Wyznacz n

n = (1,96·20/3)² = 170,7

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 171

Odpowiedź

n = 171

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −2,587

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75

Statystyka testowa

t = (190,3 − 200)/3,75 = −2,587

Odpowiedź

t = −2,587

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: L = 92,02

Margines błędu

E = 1,96·15/√25 = 5,88

Granica przedziału

L = 97,9 − 5,88 = 92,02

Odpowiedź

L = 92,02

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,8422

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 232/5 = 46,4

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 24

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 81,2

Współczynnik korelacji

r = 24/√(10·81,2) = 0,8422

Odpowiedź

r = 0,8422

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = 4,4

Średnie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 293/5 = 58,6

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60

Prosta regresji

b = 60/10 = 6

a = 58,6 − 6·3 = 40,6

ŷ = 40,6 + 6·x

Wartość przewidywana

ŷ = 40,6 + 6·3,5 = 61,6

Reszta

e = 66 − 61,6 = 4,4

Odpowiedź

e = 4,4

Punkt leży nad prostą.

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: E = 34,51

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebność oczekiwana

E = 73·78/165 = 34,51

Odpowiedź

E = 34,51

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ²_crit = 16,81

Stopnie swobody

df = (3 − 1)·(4 − 1) = 6

Tabela

χ²_crit(df = 6, α = 0,01) = 16,812

Odpowiedź

χ²_crit = 16,812

Odrzuć H₀, jeśli obliczone χ² jest większe od tej wartości.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology