Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne
P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Rozkład normalny

Wynik z
z = (x − μ)/σ
Poniżej x
P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentyl
x = μ + z·σ

Metoda

  1. Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
  2. Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
  3. Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
  4. Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

  1. Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
  2. Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
  3. Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
  4. Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n

Metoda

  1. Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
  2. Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
  3. Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
  4. Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy
b = Sxy/Sxx
Wyraz wolny
a = ȳ − b·x̄
Korelacja
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reszta
e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa
χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja
odrzuć H0, jeśli χ² > χ²crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Błąd standardowy średniej maleje, gdy:

  1. AZmienna jest mierzona na poziomie porządkowym
  2. BRośnie średnia
  3. CRośnie liczebność próby
  4. DMaleje liczebność próby
2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Dlaczego wielu badaczy twierdzi, że wartości p należy raportować razem z wielkościami efektu i przedziałami ufności?

  1. AWielkości efektu sprawiają, że liczebność próby jest bez znaczenia dla istotności
  2. BWartość p nie pokazuje, jak duży ani jak precyzyjnie oszacowany jest efekt
  3. CPrzedziały ufności są potrzebne tylko w badaniach jakościowych
  4. DWartości p pokazują prawdopodobieństwo, że hipoteza jest prawdziwa
3.Statystyka opisowaŚredni
2025303540455055

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 26, 21, 56, 54, 20, 44.

n = 6
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
z −2−1012

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 10. Jaka część P wartości leży powyżej 190?

μ = 170σ = 10x = 190
P =
5.PrawdopodobieństwoŚredni
czerwone: 8niebieskie: 4

W worku jest 8 kul czerwonych i 4 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?

8 / 4
P =
6.PrawdopodobieństwoTrudny
n = 8, p = 0,5: P(X = 1) = ?k012345678

Test ma 8 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,5, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 1 poprawnych odpowiedzi?

n = 8p = 0,5k = 1
P =
7.Rozkład normalnyŚredni
425 kg411,6 kgT = X₁ + … + X₅?

Masy pasażerów z bagażem są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 85 kg i odchyleniem standardowym 12 kg. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 5 z nich będzie mniejsza niż 411,6 kg. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 5< 411.6 kg
P =
8.Rozkład normalnyTrudny
0,02 mm0D − d?

Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,02 mm i odchyleniem standardowym 0,01 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

otwór: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
9.Przedziały ufnościŚredni
n = 6, s = 20LUx̄ = 46E = ?90%

Próba 6 elementów ma średnią 46 i odchylenie standardowe s = 20. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 6x̄ = 46s = 2090%t(5) = 2,015
E =
10.Przedziały ufnościTrudny
n = 21Lσ = ?s = 10,595%

Średnice 21 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 10,5 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: górna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 20 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 9,591, a 2,5 % powyżej 34,17.

n = 21s = 10,5 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
t −2,0302,03

Próba 36 studentów ma średni wynik 108 i odchylenie standardowe z próby 20. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 108s = 20n = 36
t =
12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
z −2,57602,576

Próba 81 pomiarów ma średnią 96,2. Odchylenie standardowe populacji wynosi 20. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 99 % dla średniej.

x̄ = 96,2σ = 20n = 8199%
L =
13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
xy147249352455554662xy246505560

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6
r =
14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
xy254360459565675786xy246607080x = 4,5

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 4,5.

n = 6x = 4,5
ŷ =
15.Testy chi-kwadratŚredni
niskiśredniwysokiSumamiasto2512340wieś35182780Suma603030120

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 1202 × 3
χ² =
16.Testy chi-kwadratTrudny

Test zgodności chi-kwadrat porównuje liczebności obserwowane w 7 kategoriach z w pełni określonymi oczekiwanymi udziałami (żadne parametry nie są estymowane z danych). Ile stopni swobody df ma test?

k = 7
df =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: C · Rośnie liczebność próby

Dlaczego to jest odpowiedź

Błąd standardowy szacuje, jak bardzo średnie z prób wahają się wokół średniej w populacji. Większe próby dają dokładniejsze oszacowania.

Odpowiedź

C · Rośnie liczebność próby
2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: B · Wartość p nie pokazuje, jak duży ani jak precyzyjnie oszacowany jest efekt

Dlaczego to jest odpowiedź

Wartość p silnie zależy od liczebności próby i wskazuje tylko, jak zaskakujące są dane przy hipotezie zerowej. Wielkości efektu pokazują rozmiar, a przedziały – precyzję.

Odpowiedź

B · Wartość p nie pokazuje, jak duży ani jak precyzyjnie oszacowany jest efekt
3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 16,52

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 221/6 = 36,83

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−10,83)² + (−15,83)² + 19,17² + 17,17² + (−16,83)² + 7,167² = 1365

Odchylenie standardowe

s = √(1365/5) = 16,52

Odpowiedź

s = 16,52
4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,02275

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Standaryzuj

z = 2

Tablica rozkładu normalnego

Φ(2) = 0,9772
P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Odpowiedź

P = 0,02275
5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,4242

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pierwsze i drugie losowanie

P = 8/12 · 7/11 = 56/132 = 0,4242

Odpowiedź

P = 0,4242
6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,03125

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Wzór dwumianowy

P(X = 1) = 8·0,51·0,57 = 8·0,5·0,007813 = 0,03125

Odpowiedź

P = 0,03125
7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,3085

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy całkowitej

μT = 425 kg, σT = 12·√5 = 26,83 kg

Standaryzuj

z = (411,6 − 425)/26,83 = −0,5

Prawdopodobieństwo

P = Φ(−0,5) = 0,3085

Odpowiedź

P = 0,3085
8.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,8133

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład różnicy

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm

Standaryzuj

z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133

Odpowiedź

P = 0,8133
9.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 16,45

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 5, t = 2,015

Margines błędu

E = 2,015·20/√6 = 16,45

Odpowiedź

E = 16,45
10.Przedziały ufności

Odpowiedź: σ = 15,16 µm

Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.

Suma kwadratów

(n − 1)s² = 20·10,5² = 2205

Granice dla σ²

2205/34,17 = 64,53
2205/9,591 = 229,9

Granica dla σ

σ = √229,9 = 15,16 µm

Odpowiedź

σ = 15,16 µm

Przedział 95 % dla σ: [8,033, 15,16] µm.

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 2,4

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333

Statystyka testowa

t = (108 − 100)/3,333 = 2,4

Odpowiedź

t = 2,4
t0,025; df = 35 = 2,03

|t| > 2,03, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: L = 90,48

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Margines błędu

E = 2,576·20/√81 = 5,724

Granica przedziału

L = 96,2 − 5,724 = 90,48

Odpowiedź

L = 90,48
13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9434

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 319/6 = 53,17

Sumy kwadratów i iloczynów

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 46,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 138,8

Współczynnik korelacji

r = 46,5/√(17,5·138,8) = 0,9434

Odpowiedź

r = 0,9434
14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 66,5

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 399/6 = 66,5

Sumy kwadratów i iloczynów

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 105,5

Prosta regresji

b = 105,5/17,5 = 6,029
a = 66,5 − 6,029·4,5 = 39,37
ŷ = 39,37 + 6,029·x

Prognoza

ŷ = 39,37 + 6,029·4,5 = 66,5

Odpowiedź

ŷ = 66,5
15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 9,825

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

miasto: 40·60/120 = 20, 40·30/120 = 10, 40·30/120 = 10
wieś: 80·60/120 = 40, 80·30/120 = 20, 80·30/120 = 20

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (25 − 20)²/20 + (12 − 10)²/10 + (3 − 10)²/10 + (35 − 40)²/40 + (18 − 20)²/20 + (27 − 20)²/20
χ² = 9,825

Odpowiedź

χ² = 9,825

df = 2. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 5,991, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): odrzucona.

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: df = 6

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Stopnie swobody

df = 7 − 1 = 6

Odpowiedź

df = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology