Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Jakie dane uzyskuje się, zadając w wywiadzie pytanie otwarte?

ADane jakościowe
BWyłącznie ilościowe dane nominalne
CDane przedziałowe
DDane ilorazowe

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Jaki jest główny cel losowego przydziału do warunków w eksperymencie?

AZwiększenie odsetka odpowiedzi
BRównomierne rozłożenie zmiennych osobowych, by nie zakłócały wyników
CZapewnienie, że uczestnicy nie znają celu
DZapewnienie reprezentatywności próby dla populacji docelowej, aby wyniki dało się uogólnić

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 52, 55, 19, 36, 33, 17, 18.

n = 7

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 10. Jaka część P wartości leży powyżej 90?

μ = 70σ = 10x = 90

P =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

W worku jest 8 kul czerwonych i 5 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?

8 / 5

P =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €5. Wygrywasz €10 z prawdopodobieństwem 0,15 i €250 z prawdopodobieństwem 0,05; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €5€10: p = 0,15€250: p = 0,05

E(G) = €

7.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Jaka część wartości leży między 438 a 534 h? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 500σ = 40x₁ = 438x₂ = 534

P =

8.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 80% wszystkich wartości (80. percentyl).

μ = 250σ = 5P = 80%

x = g

9.Przedziały ufnościŚredni

Próba 6 elementów ma średnią 37,5 i odchylenie standardowe s = 2. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 6x̄ = 37,5s = 295%t(5) = 2,571

dolna granica =

10.Przedziały ufnościTrudny

Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 11 poletek, średni plon 74 kg, odchylenie standardowe 1 kg. Grupa poletek 2: 10 poletek, średnia 81,5 kg, odchylenie standardowe 10 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.

n₁ = 11x̄₁ = 74s₁ = 1n₂ = 10x̄₂ = 81,5s₂ = 1090%t(19) = 1,729

E = kg

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 100 studentów ma średni wynik 119,4 i odchylenie standardowe z próby 4. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 119,4s = 4n = 100

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

W badaniu klinicznym wyzdrowiało 36 z 80 pacjentów leczonych metodą A i 53 z 150 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 36n₁ = 80x₂ = 53n₂ = 150

z =

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 5

r² =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (5,5, 76). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 6(5,5, 76)

e =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. W teście niezależności chi-kwadrat wyznacz liczebność oczekiwaną E dla komórki „studenci, rower”.

suma wiersza = 84suma kolumny = 63N = 173

E =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Test zgodności chi-kwadrat porównuje liczebności obserwowane w 4 kategoriach z w pełni określonymi oczekiwanymi udziałami (żadne parametry nie są estymowane z danych). Ile stopni swobody df ma test?

k = 4

df =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: A · Dane jakościowe

Dlaczego to jest odpowiedź

Pytania otwarte dają bogate dane jakościowe, trudniejsze do analizy statystycznej niż odpowiedzi na pytania zamknięte.

Odpowiedź

A · Dane jakościowe

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: B · Równomierne rozłożenie zmiennych osobowych, by nie zakłócały wyników

Dlaczego to jest odpowiedź

Losowy przydział równoważy różnice indywidualne między warunkami i wspiera wnioski przyczynowe. Losowy dobór próby dotyczy uogólniania na populację.

Odpowiedź

B · Równomierne rozłożenie zmiennych osobowych, by nie zakłócały wyników

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 15,97

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 230/7 = 32,86

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 19,14² + 22,14² + (−13,86)² + 3,143² + 0,1429² + (−15,86)² + (−14,86)² = 1531

Odchylenie standardowe

s = √(1531/6) = 15,97

Odpowiedź

s = 15,97

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,02275

Standaryzuj

z = 2

Tablica rozkładu normalnego

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Odpowiedź

P = 0,02275

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,359

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pierwsze i drugie losowanie

P = 8/13 · 7/12 = 56/156 = 0,359

Odpowiedź

P = 0,359

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = 9 €

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Wyniki netto

G: 5 (p = 0,15), 245 (p = 0,05), −5 (p = 0,8)

Wartość oczekiwana

E(G) = 5·0,15 + 245·0,05 − 5·0,8 = 9 €

Odpowiedź

E(G) = 9 €

Wartość dodatnia oznacza, że średnio wygrywasz pieniądze.

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,7418

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (438 − 500)/40 = −1,55

z₂ = (534 − 500)/40 = 0,85

Pole pomiędzy

P = Φ(0,85) − Φ(−1,55) = 0,8023 − 0,06057 = 0,7418

Odpowiedź

P = 0,7418

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 254,2 g

z dla percentyla

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Powrót do x

x = 250 + 0,8416·5 = 254,21 g

Odpowiedź

x = 254,21 g

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 35,4

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 5, t = 2,571

Margines błędu

E = 2,571·2/√6 = 2,099

Przedział

37,5 ± 2,099 → [35,4, 39,6]

Odpowiedź

dolna granica = 35,4

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 5,228 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Łączne odchylenie standardowe

s_p² = (10·1² + 9·10²)/19 = 47,89

s_p = 6,921

Margines błędu

E = 1,729·6,921·√(1/11 + 1/10) = 5,228

Odpowiedź

E = 5,228 kg

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −1,5

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4

Statystyka testowa

t = (119,4 − 120)/0,4 = −1,5

Odpowiedź

t = −1,5

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = 1,434

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Frakcje z prób

p̂₁ = 36/80 = 0,45

p̂₂ = 53/150 = 0,3533

p̂ = 89/230 = 0,387

Błąd standardowy przy H₀

SE = √(0,387·0,613·(1/80 + 1/150)) = 0,06743

Statystyka testowa

z = (0,45 − 0,3533)/0,06743 = 1,434

Odpowiedź

z = 1,434

|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9597

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 72/5 = 14,4

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 110

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 315,2

Współczynnik determinacji

r² = 110²/(40·315,2) = 0,9597

Odpowiedź

r² = 0,9597

Około 95,97% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = 4,533

Średnie

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 400/6 = 66,67

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 84

Prosta regresji

b = 84/17,5 = 4,8

a = 66,67 − 4,8·4,5 = 45,07

ŷ = 45,07 + 4,8·x

Wartość przewidywana

ŷ = 45,07 + 4,8·5,5 = 71,47

Reszta

e = 76 − 71,47 = 4,533

Odpowiedź

e = 4,533

Punkt leży nad prostą.

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: E = 30,59

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebność oczekiwana

E = 84·63/173 = 30,59

Odpowiedź

E = 30,59

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: df = 3

Stopnie swobody

df = 4 − 1 = 3

Odpowiedź

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology