Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne
P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Rozkład normalny

Wynik z
z = (x − μ)/σ
Poniżej x
P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentyl
x = μ + z·σ

Metoda

  1. Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
  2. Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
  3. Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
  4. Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

  1. Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
  2. Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
  3. Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
  4. Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n

Metoda

  1. Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
  2. Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
  3. Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
  4. Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy
b = Sxy/Sxx
Wyraz wolny
a = ȳ − b·x̄
Korelacja
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reszta
e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa
χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja
odrzuć H0, jeśli χ² > χ²crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

W badaniach obserwacyjnych próbkowanie zdarzeń oznacza:

  1. ALosowy wybór uczestników
  2. BRejestrowanie każdego wystąpienia określonego zachowania
  3. CRejestrowanie zachowania tylko w stałych odstępach czasu
  4. DRejestrowanie tylko zdarzeń zgłaszanych przez uczestników
2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Badacz zbiera dane w dziewięciu punktach czasowych i za każdym razem testuje na poziomie 5% bez korekty. Na czym polega problem?

  1. APrawdopodobieństwo co najmniej jednego fałszywie pozytywnego wyniku rośnie znacznie powyżej 5%
  2. BTakie podejście nie stanowi problemu
  3. CDane z każdym razem stają się rzetelniejsze, więc ostatni test jest najdokładniejszy
  4. DWielkość efektu spada z każdym testem
3.Statystyka opisowaŚredni
15202530354045

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 46, 18, 13, 25, 31, 41.

n = 6
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
z −2−1012

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 5. Jaka część P wartości leży powyżej 52?

μ = 50σ = 5x = 52
P =
5.PrawdopodobieństwoŚredni
P(co najmniej jedna szóstka) = ??1?2P(szóstka) = 1/6 w każdym rzucie

Uczciwą kostką rzucamy 2 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?

n = 2
P =
6.PrawdopodobieństwoTrudny
n = 8, p = 0,25: P(X ≤ 1) = ?k012345678

Testuje się 8 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,25. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 8p = 0,25
P =
7.Rozkład normalnyŚredni
6077,5P = ?

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Jaka część wartości leży między 60 a 77,5 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 65σ = 10x1 = 60x2 = 77,5
P =
8.Rozkład normalnyTrudny
10 cm0X − Y?

Wzrost X mężczyzn i wzrost Y kobiet w grupie są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 180 cm i odchylenie standardowe 10 cm, Y ma średnią 170 cm i odchylenie standardowe 12 cm. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
9.Przedziały ufnościŚredni
n = 13, s = 9L = ?Ux̄ = 42E95%

Próba 13 elementów ma średnią 42 i odchylenie standardowe s = 9. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 13x̄ = 42s = 995%t(12) = 2,179
dolna granica =
10.Przedziały ufnościTrudny
μ₁ − μ₂, t(12) = 1,7820L = ?Ux̄₁ − x̄₂E90%

Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 8 poletek, średni plon 42 kg, odchylenie standardowe 3 kg. Grupa poletek 2: 6 poletek, średnia 49,5 kg, odchylenie standardowe 5,5 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 42s₁ = 3n₂ = 6x̄₂ = 49,5s₂ = 5,590%t(12) = 1,782
dolna granica = kg
11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
t −2,06402,064

Próba 25 studentów ma średni wynik 72,4 i odchylenie standardowe z próby 5. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 72,4s = 5n = 25
t =
12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
z −1,64501,645

Próba 100 pomiarów ma średnią 123,6. Odchylenie standardowe populacji wynosi 12. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 90 % dla średniej.

x̄ = 123,6σ = 12n = 10090%
U =
13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
xy129224322421519xy24202530

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 5
r² =
14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
xy252356465574669xy2466070x = 2,5

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 2,5.

n = 5x = 2,5
ŷ =
15.Testy chi-kwadratŚredni
niskiśredniwysokiSumamiasto7132040wieś5191640Suma12323680

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 802 × 3
χ² =
16.Testy chi-kwadratTrudny
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Test niezależności chi-kwadrat przeprowadza się na tabeli kontyngencji o 2 wierszach i 2 kolumnach (bez sum). Korzystając z tabeli, wyznacz wartość krytyczną χ²crit na poziomie istotności α = 0,05.

α = 0,05
χ²crit =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: B · Rejestrowanie każdego wystąpienia określonego zachowania

Dlaczego to jest odpowiedź

Próbkowanie zdarzeń zlicza każde wystąpienie zachowań docelowych. Próbkowanie czasowe rejestruje to, co dzieje się w ustalonych odstępach, np. co 30 sekund.

Odpowiedź

B · Rejestrowanie każdego wystąpienia określonego zachowania
2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: A · Prawdopodobieństwo co najmniej jednego fałszywie pozytywnego wyniku rośnie znacznie powyżej 5%

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy dziewięciu niezależnych testach prawdopodobieństwo co najmniej jednego błędu I rodzaju wynosi około 1 − 0,95⁹ ≈ 37%. Rozwiązaniem są korekty, np. Bonferroniego.

Odpowiedź

A · Prawdopodobieństwo co najmniej jednego fałszywie pozytywnego wyniku rośnie znacznie powyżej 5%
3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 12,88

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 174/6 = 29

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 17² + (−11)² + (−16)² + (−4)² + 2² + 12² = 830

Odchylenie standardowe

s = √(830/5) = 12,88

Odpowiedź

s = 12,88
4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,3446

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Standaryzuj

z = 0,4

Tablica rozkładu normalnego

Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Odpowiedź

P = 0,3446
5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,3056

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zdarzenie przeciwne

P(brak szóstki) = (5/6)2 = 0,6944
P = 1 − 0,6944 = 0,3056

Odpowiedź

P = 0,3056
6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,3671

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,758 = 0,1001
P(X = 1) = 8·0,25·0,757 = 0,267

Dodaj

P = 0,1001 + 0,267 = 0,3671

Odpowiedź

P = 0,3671
7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,5858

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (60 − 65)/10 = −0,5
z₂ = (77,5 − 65)/10 = 1,25

Pole pomiędzy

P = Φ(1,25) − Φ(−0,5) = 0,8944 − 0,3085 = 0,5858

Odpowiedź

P = 0,5858
8.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,7389

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład różnicy

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Standaryzuj

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Odpowiedź

P = 0,7389
9.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 36,56

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 12, t = 2,179

Margines błędu

E = 2,179·9/√13 = 5,439

Przedział

42 ± 5,439 → [36,56, 47,44]

Odpowiedź

dolna granica = 36,56
10.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = −11,57 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Łączne odchylenie standardowe

sp² = (7·3² + 5·5,5²)/12 = 17,85
sp = 4,225

Margines błędu

E = 1,782·4,225·√(1/8 + 1/6) = 4,067

Przedział

−7,5 ± 4,067 → [−11,57, −3,433]

Odpowiedź

dolna granica = −11,57 kg
11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −2,6

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

Statystyka testowa

t = (72,4 − 75)/1 = −2,6

Odpowiedź

t = −2,6
t0,025; df = 24 = 2,064

|t| > 2,064, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: U = 125,6

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Margines błędu

E = 1,645·12/√100 = 1,974

Granica przedziału

U = 123,6 + 1,974 = 125,6

Odpowiedź

U = 125,6
13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9121

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 115/5 = 23

Sumy kwadratów i iloczynów

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23
Syy = Σ(y − ȳ)² = 58

Współczynnik determinacji

r² = −23²/(10·58) = 0,9121

Odpowiedź

r² = 0,9121

Około 91,21% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 55,4

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 316/5 = 63,2

Sumy kwadratów i iloczynów

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52

Prosta regresji

b = 52/10 = 5,2
a = 63,2 − 5,2·4 = 42,4
ŷ = 42,4 + 5,2·x

Prognoza

ŷ = 42,4 + 5,2·2,5 = 55,4

Odpowiedź

ŷ = 55,4
15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 1,903

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

miasto: 40·12/80 = 6, 40·32/80 = 16, 40·36/80 = 18
wieś: 40·12/80 = 6, 40·32/80 = 16, 40·36/80 = 18

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (7 − 6)²/6 + (13 − 16)²/16 + (20 − 18)²/18 + (5 − 6)²/6 + (19 − 16)²/16 + (16 − 18)²/18
χ² = 1,903

Odpowiedź

χ² = 1,903

df = 2. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 5,991, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): brak podstaw do odrzucenia.

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ²crit = 3,841

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Stopnie swobody

df = (2 − 1)·(2 − 1) = 1

Tabela

χ²crit(df = 1, α = 0,05) = 3,841

Odpowiedź

χ²crit = 3,841

Odrzuć H₀, jeśli obliczone χ² jest większe od tej wartości.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology