Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Trafność ekologiczna oznacza:

ACzy test przewiduje przyszłe zachowanie
BNa ile wyniki dają się uogólnić na sytuacje z życia codziennego
CNa ile test jest spójny w czasie
DCzy test wygląda, jakby mierzył właściwą rzecz

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

W badaniach jakościowych refleksyjność oznacza, że badacz:

APowtarza badanie, by sprawdzić rzetelność
BPrzekształca tematy w dane liczbowe
CZastanawia się, jak jego własne doświadczenia i założenia mogą kształtować analizę
DUżywa próby losowej, by usunąć obciążenia

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 20, 50, 37, 48, 17, 46.

n = 6

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 15. Wyznacz wynik z z dla wyniku 69.

μ = 60σ = 15x = 69

z =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

Na ile sposobów N można wybrać komisję 2 osób z grupy 14 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 14k = 2

N =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = 5X + 1. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,15, 0,3, 0,3, 0,25Y = 5X + 1

σ_Y =

7.Rozkład normalnyŚredni

Masy pudeł są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 12 kg i odchyleniem standardowym 0,8 kg. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 9 z nich będzie mniejsza niż 112,8 kg. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 9< 112.8 kg

P =

8.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 75% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 250 gσ = 5 g75%

x = g

9.Przedziały ufnościŚredni

U 16 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią 5,2 i odchylenie standardowe 4,7. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 95 % dla średniej różnicy.

n = 16d̄ = 5,2s_d = 4,795%t(15) = 2,131

E = mmHg

10.Przedziały ufnościTrudny

Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 12 poletek, średni plon 36,5 kg, odchylenie standardowe 2 kg. Grupa poletek 2: 10 poletek, średnia 46 kg, odchylenie standardowe 2 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.

n₁ = 12x̄₁ = 36,5s₁ = 2n₂ = 10x̄₂ = 46s₂ = 299%t(20) = 2,845

E = kg

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 36 studentów ma średni wynik 501,6 i odchylenie standardowe z próby 8. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 501,6s = 8n = 36

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 90 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5? Odchylenie standardowe wynosi 12. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.

σ = 12E = 1,590%

n =

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 5

r² =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 5.

n = 5x = 5

ŷ =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 1602 × 3

χ² =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Tabela pokazuje liczebności obserwowane. Sprawdź na poziomie α = 0,01, czy obie zmienne są niezależne (bez poprawki na ciągłość). Oblicz statystykę testową χ², a potem porównaj ją z wartością krytyczną z tabeli.

N = 2803 × 2α = 0,01

χ² =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: B · Na ile wyniki dają się uogólnić na sytuacje z życia codziennego

Dlaczego to jest odpowiedź

Trafność ekologiczna dotyczy tego, czy wyniki odnoszą się do sytuacji codziennych. Ściśle kontrolowane badania laboratoryjne często wypadają tu słabo.

Odpowiedź

B · Na ile wyniki dają się uogólnić na sytuacje z życia codziennego

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: C · Zastanawia się, jak jego własne doświadczenia i założenia mogą kształtować analizę

Dlaczego to jest odpowiedź

Refleksyjność uznaje wpływ badacza na zbieranie i interpretację danych i jest kluczowym kryterium jakości w pracy jakościowej.

Odpowiedź

C · Zastanawia się, jak jego własne doświadczenia i założenia mogą kształtować analizę

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 14,54

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 218/6 = 36,33

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−16,33)² + 13,67² + 0,6667² + 11,67² + (−19,33)² + 9,667² = 1057

Odchylenie standardowe

s = √(1057/5) = 14,54

Odpowiedź

s = 14,54

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 0,6

Standaryzuj

z = (69 − 60)/15 = 0,6

Odpowiedź

z = 0,6

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 91

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(14, 2) = (14·13)/(2·1) = 91

Odpowiedź

N = 91

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 10,14

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Rozrzut X

μ = 3,3, Var(X) = 4,11, σ_X = 2,027

Zmiana liniowa

σ_Y = |5|·2,027 = 10,14

Odpowiedź

σ_Y = 10,14

Średnia się przesuwa: E(Y) = 5·3,3 + 1 = 17,5.

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,9772

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy całkowitej

μ_T = 108 kg, σ_T = 0,8·√9 = 2,4 kg

Standaryzuj

z = (112,8 − 108)/2,4 = 2

Prawdopodobieństwo

P = Φ(2) = 0,9772

Odpowiedź

P = 0,9772

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 253,4 g

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,75

z z tablicy

z ≈ 0,67

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 250 + 0,67·5 = 253,4 g

Odpowiedź

x = 253,4 g

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 2,504 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Wartość krytyczna

df = 15, t = 2,131

Margines błędu

E = 2,131·4,7/√16 = 2,504

Odpowiedź

E = 2,504 mmHg

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 2,436 kg

Łączne odchylenie standardowe

s_p² = (11·2² + 9·2²)/20 = 4

s_p = 2

Margines błędu

E = 2,845·2·√(1/12 + 1/10) = 2,436

Odpowiedź

E = 2,436 kg

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 1,2

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333

Statystyka testowa

t = (501,6 − 500)/1,333 = 1,2

Odpowiedź

t = 1,2

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 174

Wyznacz n

n = (1,645·12/1,5)² = 173,2

Zaokrąglij w górę

n = 174

Odpowiedź

n = 174

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9748

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 389/5 = 77,8

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 384

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1681

Współczynnik determinacji

r² = 384²/(90·1681) = 0,9748

Odpowiedź

r² = 0,9748

Około 97,48% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 20,4

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 122/5 = 24,4

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 160

Prosta regresji

b = 160/40 = 4

a = 24,4 − 4·6 = 0,4

ŷ = 0,4 + 4·x

Prognoza

ŷ = 0,4 + 4·5 = 20,4

Odpowiedź

ŷ = 20,4

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 17,23

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

miasto: 60·80/160 = 30, 60·40/160 = 15, 60·40/160 = 15

wieś: 100·80/160 = 50, 100·40/160 = 25, 100·40/160 = 25

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (23 − 30)²/30 + (11 − 15)²/15 + (26 − 15)²/15 + (57 − 50)²/50 + (29 − 25)²/25 + (14 − 25)²/25

χ² = 17,23

Odpowiedź

χ² = 17,23

df = 2. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 5,991, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): odrzucona.

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 55,6

Liczebności oczekiwane

zakład A: 50, 50

zakład B: 50, 50

zakład C: 40, 40

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (67 − 50)²/50 + (33 − 50)²/50 + (61 − 50)²/50 + (39 − 50)²/50 + (12 − 40)²/40 + (68 − 40)²/40

χ² = 55,6

Decyzja

df = 2, χ²_crit = 9,210

55,6 > 9,210

Odpowiedź

χ² = 55,6

χ² jest większe od wartości krytycznej, więc H₀ zostaje odrzucona: zmienne wydają się powiązane.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology