Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Błąd I rodzaju występuje, gdy badacz:

AUżywa niewłaściwego testu statystycznego
BNie odrzuca fałszywej hipotezy zerowej
CZbiera zbyt dużo danych
DOdrzuca hipotezę zerową, która w rzeczywistości jest prawdziwa

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Badacz zbiera dane w dziewięciu punktach czasowych i za każdym razem testuje na poziomie 5% bez korekty. Na czym polega problem?

ATakie podejście nie stanowi problemu
BPrawdopodobieństwo co najmniej jednego fałszywie pozytywnego wyniku rośnie znacznie powyżej 5%
CWielkość efektu spada z każdym testem
DDane z każdym razem stają się rzetelniejsze, więc ostatni test jest najdokładniejszy

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 17, 10, 20, 20, 22, 35, 32.

n = 7

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 5. Wyznacz wynik z z dla wyniku 64.

μ = 70σ = 5x = 64

z =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35

Var(X) =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = 0,5X + 20. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,1, 0,3, 0,25Y = 0,5X + 20

σ_Y =

7.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Jaka część wartości leży między 85 a 103,75 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 100σ = 15x₁ = 85x₂ = 103,75

P =

8.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 95% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 100 pktσ = 15 pkt95%

x = pkt

9.Przedziały ufnościŚredni

Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 80 telefonów, średnia 115 h, znane odchylenie standardowe 20 h. Model 2: 60 telefonów, średnia 120 h, znane odchylenie standardowe 9 h. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 115 hσ₁ = 20 hn₂ = 60x̄₂ = 120 hσ₂ = 9 h90%

górna granica = h

10.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 15. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 3?

σ = 15E = 399%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 64 studentów ma średni wynik 200,8 i odchylenie standardowe z próby 5. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 200,8s = 5n = 64

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 49 pomiarów ma średnią 77,4. Odchylenie standardowe populacji wynosi 15. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 99 % dla średniej.

x̄ = 77,4σ = 15n = 4999%

U =

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6

r =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 128?

n = 5ŷ = 128

x =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 1602 × 3

χ² =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Test zgodności chi-kwadrat sprawdza, czy liczebności w 5 kategoriach mają rozkład Poissona, którego średnią estymuje się z tych samych danych. Korzystając z tabeli, wyznacz wartość krytyczną χ²_crit na poziomie istotności α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: D · Odrzuca hipotezę zerową, która w rzeczywistości jest prawdziwa

Dlaczego to jest odpowiedź

Błąd I rodzaju oznacza stwierdzenie efektu, którego nie ma. Jego prawdopodobieństwo równa się poziomowi istotności (często 0,05). Błąd II rodzaju to przeoczenie rzeczywistego efektu.

Odpowiedź

D · Odrzuca hipotezę zerową, która w rzeczywistości jest prawdziwa

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: B · Prawdopodobieństwo co najmniej jednego fałszywie pozytywnego wyniku rośnie znacznie powyżej 5%

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy dziewięciu niezależnych testach prawdopodobieństwo co najmniej jednego błędu I rodzaju wynosi około 1 − 0,95⁹ ≈ 37%. Rozwiązaniem są korekty, np. Bonferroniego.

Odpowiedź

B · Prawdopodobieństwo co najmniej jednego fałszywie pozytywnego wyniku rośnie znacznie powyżej 5%

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 8,616

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 156/7 = 22,29

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−5,286)² + (−12,29)² + (−2,286)² + (−2,286)² + (−0,2857)² + 12,71² + 9,714² = 445,4

Odchylenie standardowe

s = √(445,4/6) = 8,616

Odpowiedź

s = 8,616

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = −1,2

Standaryzuj

z = (64 − 70)/5 = −1,2

Odpowiedź

z = −1,2

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 0,6475

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

Wariancja

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

Odpowiedź

Var(X) = 0,6475

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 1,203

Rozrzut X

μ = 2,9, Var(X) = 5,79, σ_X = 2,406

Zmiana liniowa

σ_Y = |0,5|·2,406 = 1,203

Odpowiedź

σ_Y = 1,203

Średnia się przesuwa: E(Y) = 0,5·2,9 + 20 = 21,45.

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,4401

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (85 − 100)/15 = −1

z₂ = (103,75 − 100)/15 = 0,25

Pole pomiędzy

P = Φ(0,25) − Φ(−1) = 0,5987 − 0,1587 = 0,4401

Odpowiedź

P = 0,4401

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 75,4 pkt

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,05

z z tablicy

z ≈ −1,64

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 100 − 1,64·15 = 75,4 pkt

Odpowiedź

x = 75,4 pkt

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = −0,8547 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estymator punktowy

x̄₁ − x̄₂ = 115 − 120 = −5

Błąd standardowy

SE = √(20²/80 + 9²/60) = 2,52

Margines błędu

E = 1,645·2,52 = 4,145

Przedział

−5 ± 4,145 → [−9,145, −0,8547]

Odpowiedź

górna granica = −0,8547 h

Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 166

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = (2,576·15/3)² = 165,9

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 166

Odpowiedź

n = 166

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 1,28

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 5/√64 = 5/8 = 0,625

Statystyka testowa

t = (200,8 − 200)/0,625 = 1,28

Odpowiedź

t = 1,28

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: U = 82,92

Margines błędu

E = 2,576·15/√49 = 5,52

Granica przedziału

U = 77,4 + 5,52 = 82,92

Odpowiedź

U = 82,92

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9941

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 127/6 = 21,17

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 169

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 412,8

Współczynnik korelacji

r = 169/√(70·412,8) = 0,9941

Odpowiedź

r = 0,9941

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 21,96

Średnie

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 546/5 = 109,2

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 254

Prosta regresji

b = 254/40 = 6,35

a = 109,2 − 6,35·19 = −11,45

ŷ = −11,45 + 6,35·x

Wyznacz x

x = (128 − (−11,45))/6,35 = 21,96

Odpowiedź

x = 21,96

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 1,92

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

zmiana dzienna: 60·80/160 = 30, 60·40/160 = 15, 60·40/160 = 15

zmiana nocna: 100·80/160 = 50, 100·40/160 = 25, 100·40/160 = 25

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (30 − 30)²/30 + (12 − 15)²/15 + (18 − 15)²/15 + (50 − 50)²/50 + (28 − 25)²/25 + (22 − 25)²/25

χ² = 1,92

Odpowiedź

χ² = 1,92

df = 2. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 5,991, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): brak podstaw do odrzucenia.

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ²_crit = 7,815

Stopnie swobody

df = 5 − 1 − 1 = 3

Tabela

χ²_crit(df = 3, α = 0,05) = 7,815

Odpowiedź

χ²_crit = 7,815

Odrzuć H₀, jeśli obliczone χ² jest większe od tej wartości.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology