Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
Testy chi-kwadrat
- Statystyka testowa
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Test zgodności
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Niezależność
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Wartości krytyczne (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Decyzja
- odrzuć H0, jeśli χ² > χ²crit
2Zadania do ćwiczenia
1.Metody badawcze w psychologiiŚredni
Błąd I rodzaju występuje, gdy badacz:
- AUżywa niewłaściwego testu statystycznego
- BZbiera zbyt dużo danych
- CNie odrzuca fałszywej hipotezy zerowej
- DOdrzuca hipotezę zerową, która w rzeczywistości jest prawdziwa
2.Metody badawcze w psychologiiTrudny
W teorii ugruntowanej zbieranie danych trwa, dopóki:
- ANie uzyska się wartości p poniżej 0,05
- BPierwotna hipoteza nie zostanie potwierdzona
- CNie zostanie osiągnięte nasycenie teoretyczne, a nowe dane nie wnoszą nowych kategorii
- DNie przeprowadzi się wywiadów z co najmniej 1,000 uczestników
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 52, 37, 23, 45, 36.
n = 5
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 5. Wyznacz wynik z z dla wyniku 55.
μ = 60σ = 5x = 55
z =
5.PrawdopodobieństwoŚredni
Uczciwą kostką rzucamy 8 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?
n = 8
P =
6.PrawdopodobieństwoTrudny
Testuje się 8 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,25. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?
n = 8p = 0,25
P =
7.Rozkład normalnyŚredni
Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,0287. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
A = 0,0287
z =
8.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 99% wszystkich wartości (99. percentyl).
μ = 178σ = 7P = 99%
x = cm
9.Przedziały ufnościŚredni
U 8 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią 5 i odchylenie standardowe 7,9. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 95 % dla średniej różnicy.
n = 8d̄ = 5sd = 7,995%t(7) = 2,365
górna granica = mmHg
10.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 30. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 5?
σ = 30E = 595%
n =
11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 16 studentów ma średni wynik 507,3 i odchylenie standardowe z próby 10. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 507,3s = 10n = 16
t =
12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 25 pomiarów ma średnią 494. Odchylenie standardowe populacji wynosi 15. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 95 % dla średniej.
x̄ = 494σ = 15n = 2595%
U =
13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
n = 6
r² =
14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 3.
n = 5x = 3
ŷ =
15.Testy chi-kwadratŚredni
Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.
N = 1202 × 3
χ² =
16.Testy chi-kwadratTrudny
Test zgodności chi-kwadrat sprawdza, czy liczebności w 4 kategoriach mają rozkład Poissona, którego średnią estymuje się z tych samych danych. Korzystając z tabeli, wyznacz wartość krytyczną χ²crit na poziomie istotności α = 0,01.
α = 0,01
χ²crit =
3Roztwory
1.Metody badawcze w psychologii
Odpowiedź: D · Odrzuca hipotezę zerową, która w rzeczywistości jest prawdziwa
Dlaczego to jest odpowiedź
Błąd I rodzaju oznacza stwierdzenie efektu, którego nie ma. Jego prawdopodobieństwo równa się poziomowi istotności (często 0,05). Błąd II rodzaju to przeoczenie rzeczywistego efektu.
Odpowiedź
D · Odrzuca hipotezę zerową, która w rzeczywistości jest prawdziwa
2.Metody badawcze w psychologii
Odpowiedź: C · Nie zostanie osiągnięte nasycenie teoretyczne, a nowe dane nie wnoszą nowych kategorii
Dlaczego to jest odpowiedź
Teoria ugruntowana rozwija teorię indukcyjnie, zbierając i kodując dane równolegle, i kończy dobór próby, gdy nowe dane nie rozwijają już kategorii.
Odpowiedź
C · Nie zostanie osiągnięte nasycenie teoretyczne, a nowe dane nie wnoszą nowych kategorii
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 10,88
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 193/5 = 38,6
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = 13,4² + (−1,6)² + (−15,6)² + 6,4² + (−2,6)² = 473,2
Odchylenie standardowe
s = √(473,2/4) = 10,88
Odpowiedź
s = 10,88
4.Statystyka opisowa
Odpowiedź: z = −1
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (55 − 60)/5 = −1
Odpowiedź
z = −1
5.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,7674
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zdarzenie przeciwne
P(brak szóstki) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Odpowiedź
P = 0,7674
6.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,3671
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero i jedna awaria
P(X = 0) = 0,758 = 0,1001
P(X = 1) = 8·0,25·0,757 = 0,267
Dodaj
P = 0,1001 + 0,267 = 0,3671
Odpowiedź
P = 0,3671
7.Rozkład normalny
Odpowiedź: z = 1,9
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole na lewo od z
Φ(z) = 1 − 0,0287 = 0,9713
Czytaj tablicę z wstecz
Znajdź 0,9713 wewnątrz tablicy i odczytaj z.
z = 1,90
Odpowiedź
z = 1,90
8.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 194,3 cm
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
z dla percentyla
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
Powrót do x
x = 178 + 2,326·7 = 194,28 cm
Odpowiedź
x = 194,28 cm
9.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 11,61 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Wartość krytyczna
df = 7, t = 2,365
Margines błędu
E = 2,365·7,9/√8 = 6,606
Przedział
5 ± 6,606 → [−1,606, 11,61]
Odpowiedź
górna granica = 11,61 mmHg
10.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 139
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,96·30/5)² = 138,3
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 139
Odpowiedź
n = 139
11.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 2,92
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 10/√16 = 10/4 = 2,5
Statystyka testowa
t = (507,3 − 500)/2,5 = 2,92
Odpowiedź
t = 2,92
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
12.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: U = 499,9
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Margines błędu
E = 1,96·15/√25 = 5,88
Granica przedziału
U = 494 + 5,88 = 499,9
Odpowiedź
U = 499,9
13.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r² = 0,8983
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 462/6 = 77
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116
Syy = Σ(y − ȳ)² = 856
Współczynnik determinacji
r² = 116²/(17,5·856) = 0,8983
Odpowiedź
r² = 0,8983
Około 89,83% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
14.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: ŷ = 5,7
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 54/5 = 10,8
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 68
Prosta regresji
b = 68/40 = 1,7
a = 10,8 − 1,7·6 = 0,6
ŷ = 0,6 + 1,7·x
Prognoza
ŷ = 0,6 + 1,7·3 = 5,7
Odpowiedź
ŷ = 5,7
15.Testy chi-kwadrat
Odpowiedź: χ² = 0,9
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
Liczebności oczekiwane
studenci: 40·60/120 = 20, 40·30/120 = 10, 40·30/120 = 10
pracownicy: 80·60/120 = 40, 80·30/120 = 20, 80·30/120 = 20
Statystyka chi-kwadrat
χ² = (22 − 20)²/20 + (8 − 10)²/10 + (10 − 10)²/10 + (38 − 40)²/40 + (22 − 20)²/20 + (20 − 20)²/20
χ² = 0,9
Odpowiedź
χ² = 0,9
df = 2. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 5,991, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): brak podstaw do odrzucenia.
16.Testy chi-kwadrat
Odpowiedź: χ²crit = 9,21
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
Stopnie swobody
df = 4 − 1 − 1 = 2
Tabela
χ²crit(df = 2, α = 0,01) = 9,210
Odpowiedź
χ²crit = 9,210
Odrzuć H₀, jeśli obliczone χ² jest większe od tej wartości.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology