Sprężyny i wahadła
- Masa na sprężynie
- T = 2π·√(m/k)
- Wahadło
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsacja
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maksymalna prędkość i przyspieszenie
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Fale i optyka: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Fale, dźwięk i optyka
- Prędkość fali
- v = fλ, T = 1/f
- Struna
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Poziom natężenia dźwięku
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Źródło punktowe
- I = P/(4πr²)
- Fale stojące
- struna lub rura otwarta fn = n·v/(2L); rura zamknięta fn = n·v/(4L), n nieparzyste
- Efekt Dopplera
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Współczynnik załamania
- n = c/v, λ = λ0/n
- Prawo Snelliusa
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Kąt graniczny
- sin θc = n2/n1
- Światłowód
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Soczewki i zwierciadła
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Podwójna szczelina
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Siatka
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Pojedyncza szczelina
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metoda
- Rozpoznaj rodzaj zadania: prędkość fali, poziom dźwięku, fala stojąca, efekt Dopplera, załamanie, soczewka lub zwierciadło albo interferencja.
- Najpierw zapisz zależność: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) lub n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Zamień jednostki: nm, mm i cm na m, i sprawdź, czy kąty są mierzone od normalnej.
- Sprawdź znaki i wiarygodność: obraz pozorny ma dᵢ < 0, zbliżające się źródło brzmi wyżej, rura zamknięta ma tylko harmoniczne nieparzyste.
2Zadania do ćwiczenia
1.Sprężyny i wahadłaŚredni
Ciężarek o masie 2,2 kg na sprężynie o k = 90 N/m zostaje odciągnięty o 6 cm w kierunku dodatnim i puszczony ze spoczynku w t = 0. Wyznacz jego wychylenie x z położenia równowagi w chwili t = 0,8 s (ze znakiem).
m = 2,2 kgk = 90 N/mA = 6 cmt = 0,8 s
x = cm
2.Sprężyny i wahadłaTrudny
Masę 1,1 kg na sprężynie o k = 270 N/m odciągnięto o 19 cm od położenia równowagi i puszczono. Wyznacz jej maksymalną prędkość vmax.
m = 1,1 kgk = 270 N/mA = 19 cm
vmax = m/s
3.Fale, dźwięk i optykaŚredni
Światło rozchodzi się w ośrodku: szkło flintowe (n = 1,62) ku płaskiej granicy z ośrodkiem: szkło koronowe (n = 1,50). Znajdź kąt graniczny θc, powyżej którego następuje całkowite odbicie.
n1 = 1,62n2 = 1,50
θc = °
4.Fale, dźwięk i optykaTrudny
Światło o długości fali 550 nm pada pod kątem prostym na siatkę o 1200 liniach na milimetr. Znajdź kąt θ1 maksimum rzędu 1.
N = 1200 mm⁻¹λ = 550 nmm = 1
θ1 = °
3Roztwory
1.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: x = 2,361 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Pulsacja
ω = √(90/2,2) = 6,396 rad/s
ω·t = 6,396·0,8 = 5,117 rad
Przemieszczenie
x = A·cos(ω·t) = 6·cos(5,117) = 2,361 cm
Odpowiedź
x = 2,361 cm
2.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: vmax = 2,977 m/s
Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².
Pulsacja
ω = √(270/1,1) = 15,67 rad/s
Maksymalna prędkość
vmax = A·ω = 0,19·15,67 = 2,977 m/s
Odpowiedź
vmax = 2,977 m/s
3.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: θc = 67,81 °
Optyka geometryczna: na granicy ośrodków n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (prawo Snelliusa), kąty mierzy się od normalnej, a n = c/v. Przy wejściu do wolniejszego ośrodka promień załamuje się ku normalnej. Przy przejściu z ośrodka gęstszego (n₁ > n₂), powyżej kąta granicznego θc = arcsin(n₂/n₁), całe światło zostaje odbite: całkowite wewnętrzne odbicie. Cienkie soczewki i zwierciadła sferyczne spełniają 1/f = 1/do + 1/di z powiększeniem m = −di/do. Konwencja znaków: f > 0 dla soczewki skupiającej i zwierciadła wklęsłego (f = R/2), f < 0 dla soczewki rozpraszającej i zwierciadła wypukłego; di > 0 dla obrazu rzeczywistego, di < 0 dla pozornego, a m < 0 dla obrazu odwróconego.
Załamanie pod 90°
sin θc = n₂/n₁ = 1,50/1,62 = 0,9259
Kąt graniczny
θc = arcsin(0,9259) = 67,81°
Odpowiedź
θc = 67,81°
4.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: θ1 = 41,3 °
Interferencja i dyfrakcja: światło z dwóch szczelin odległych o d dociera do punktu na ekranie z różnicą dróg d·sin θ. Jasne prążki pojawiają się tam, gdzie d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Dla ekranu w odległości L ≫ d m-ty jasny prążek leży w y = mλL/d, a odstęp między prążkami wynosi Δy = λL/d. Siatka z N liniami na milimetr ma d = 1/N i ostre maksima dla d·sin θ = mλ; ponieważ sin θ ≤ 1, najwyższy rząd to największa liczba całkowita m ≤ d/λ. Pojedyncza szczelina o szerokości a ma ciemne prążki dla a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Odstęp linii
d = 1/1200 mm = 8,333 × 10⁻⁷ m
Równanie siatki
sin θ = mλ/d = 1·550 × 10⁻⁹/(8,333 × 10⁻⁷) = 0,66
θ = 41,3°
Odpowiedź
θ1 = 41,3°
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics