Fale i optyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Sprężyny i wahadła

Masa na sprężynie: T = 2π·√(m/k)
Wahadło: T = 2π·√(L/g)
Pulsacja: ω = √(k/m) = 2π/T
Maksymalna prędkość i przyspieszenie: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energia: E = ½·k·A²

Fale, dźwięk i optyka

Prędkość fali: v = fλ, T = 1/f
Struna: v = √(T/μ), μ = m/L
Poziom natężenia dźwięku: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Źródło punktowe: I = P/(4πr²)
Fale stojące: struna lub rura otwarta f_n = n·v/(2L); rura zamknięta f_n = n·v/(4L), n nieparzyste
Efekt Dopplera: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Współczynnik załamania: n = c/v, λ = λ₀/n
Prawo Snelliusa: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Kąt graniczny: sin θ_c = n₂/n₁
Światłowód: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Soczewki i zwierciadła: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Podwójna szczelina: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Siatka: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Pojedyncza szczelina: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metoda

Rozpoznaj rodzaj zadania: prędkość fali, poziom dźwięku, fala stojąca, efekt Dopplera, załamanie, soczewka lub zwierciadło albo interferencja.
Najpierw zapisz zależność: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) lub n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Zamień jednostki: nm, mm i cm na m, i sprawdź, czy kąty są mierzone od normalnej.
Sprawdź znaki i wiarygodność: obraz pozorny ma dᵢ < 0, zbliżające się źródło brzmi wyżej, rura zamknięta ma tylko harmoniczne nieparzyste.

2Zadania do ćwiczenia

1.Sprężyny i wahadłaŚredni

Jaką długość musi mieć wahadło matematyczne, aby jego okres wynosił 1,8 s? Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz L.

T = 1,8 sg = 9,81 m/s²

L = m

2.Sprężyny i wahadłaTrudny

Masę 3,9 kg na sprężynie o k = 40 N/m odciągnięto o 11 cm od położenia równowagi i puszczono. Wyznacz jej maksymalne przyspieszenie a_max.

m = 3,9 kgk = 40 N/mA = 11 cm

a_max = m/s²

3.Fale, dźwięk i optykaŚredni

Mały głośnik promieniuje moc akustyczną 0,2 W równo we wszystkich kierunkach. Znajdź poziom natężenia dźwięku β w odległości 8 m.

P = 0,2 Wr = 8 mI₀ = 10⁻¹² W/m²

β = dB

4.Fale, dźwięk i optykaTrudny

Światłowód ma rdzeń o n₁ = 1,55 i płaszcz o n₂ = 1,52. Znajdź największy kąt θ_a względem osi włókna, pod którym światło z powietrza może wejść w koniec włókna i nadal być prowadzone przez całkowite wewnętrzne odbicie.

n₁ = 1,55n₂ = 1,52n₀ = 1,00

θ_a = °

3Roztwory

1.Sprężyny i wahadła

Odpowiedź: L = 0,8051 m

Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².

Wyznacz długość

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,8/2π)² = 0,8051 m

Odpowiedź

L = 0,8051 m

2.Sprężyny i wahadła

Odpowiedź: a_max = 1,128 m/s²

Pulsacja

ω = √(40/3,9) = 3,203 rad/s

Maksymalne przyspieszenie

a_max = A·ω² = 0,11·3,203² = 1,128 m/s²

Odpowiedź

a_max = 1,128 m/s²

3.Fale, dźwięk i optyka

Odpowiedź: β = 83,96 dB

Fale: fala okresowa przesuwa się o jedną długość fali w ciągu jednego okresu, więc v = fλ, gdzie T = 1/f. Na napiętej strunie v = √(T/μ), gdzie T to naciąg, a μ = m/L to masa na metr. Dźwięk w powietrzu rozchodzi się z prędkością około 343 m/s w 20 °C, światło w próżni z c = 3,00 × 10⁸ m/s. Głośność mierzy się w skali logarytmicznej: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, gdzie I₀ = 10⁻¹² W/m², więc 10 razy większe natężenie dodaje 10 dB. Źródło punktowe rozprasza moc P na sferę: I = P/(4πr²).

Natężenie

I = P/(4πr²) = 0,0002487 W/m²

Poziom

β = 10·log₁₀(0,0002487/10⁻¹²) = 83,96 dB

Odpowiedź

β = 83,96 dB

4.Fale, dźwięk i optyka

Odpowiedź: θ_a = 17,67 °

Optyka geometryczna: na granicy ośrodków n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (prawo Snelliusa), kąty mierzy się od normalnej, a n = c/v. Przy wejściu do wolniejszego ośrodka promień załamuje się ku normalnej. Przy przejściu z ośrodka gęstszego (n₁ > n₂), powyżej kąta granicznego θ_c = arcsin(n₂/n₁), całe światło zostaje odbite: całkowite wewnętrzne odbicie. Cienkie soczewki i zwierciadła sferyczne spełniają 1/f = 1/d_o + 1/d_i z powiększeniem m = −d_i/d_o. Konwencja znaków: f > 0 dla soczewki skupiającej i zwierciadła wklęsłego (f = R/2), f < 0 dla soczewki rozpraszającej i zwierciadła wypukłego; d_i > 0 dla obrazu rzeczywistego, d_i < 0 dla pozornego, a m < 0 dla obrazu odwróconego.

Kąt graniczny na płaszczu

sin θc = 1,52/1,55 = 0,9806 → θc = 78,71°

Apertura numeryczna

NA = √(1,55² − 1,52²) = 0,3035

Kąt akceptacji

θ_a = arcsin(0,3035) = 17,67°

Odpowiedź

θ_a = 17,67°

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics