Sprężyny i wahadła
- Masa na sprężynie
- T = 2π·√(m/k)
- Wahadło
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsacja
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maksymalna prędkość i przyspieszenie
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Fale i optyka: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Fale, dźwięk i optyka
- Prędkość fali
- v = fλ, T = 1/f
- Struna
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Poziom natężenia dźwięku
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Źródło punktowe
- I = P/(4πr²)
- Fale stojące
- struna lub rura otwarta fn = n·v/(2L); rura zamknięta fn = n·v/(4L), n nieparzyste
- Efekt Dopplera
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Współczynnik załamania
- n = c/v, λ = λ0/n
- Prawo Snelliusa
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Kąt graniczny
- sin θc = n2/n1
- Światłowód
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Soczewki i zwierciadła
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Podwójna szczelina
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Siatka
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Pojedyncza szczelina
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metoda
- Rozpoznaj rodzaj zadania: prędkość fali, poziom dźwięku, fala stojąca, efekt Dopplera, załamanie, soczewka lub zwierciadło albo interferencja.
- Najpierw zapisz zależność: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) lub n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Zamień jednostki: nm, mm i cm na m, i sprawdź, czy kąty są mierzone od normalnej.
- Sprawdź znaki i wiarygodność: obraz pozorny ma dᵢ < 0, zbliżające się źródło brzmi wyżej, rura zamknięta ma tylko harmoniczne nieparzyste.
2Zadania do ćwiczenia
1.Sprężyny i wahadłaŚredni
Ciężarek o masie 3,9 kg na sprężynie o k = 120 N/m zostaje odciągnięty o 13 cm w kierunku dodatnim i puszczony ze spoczynku w t = 0. Wyznacz jego wychylenie x z położenia równowagi w chwili t = 0,5 s (ze znakiem).
m = 3,9 kgk = 120 N/mA = 13 cmt = 0,5 s
x = cm
2.Sprężyny i wahadłaTrudny
Ciężarek o masie 1 kg zostaje przymocowany do dolnego końca nierozciągniętej pionowej sprężyny o k = 340 N/m i puszczony ze spoczynku. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz największą prędkość vmax ciężarka.
m = 1 kgk = 340 N/mg = 9,81 m/s²
vmax = m/s
3.Fale, dźwięk i optykaŚredni
Przedmiot stoi 15 cm przed cienką soczewką (typ: rozpraszająca) o ogniskowej 20 cm. Znajdź odległość obrazu di. Użyj konwencji znaków 1/f = 1/do + 1/di (f < 0 dla soczewki rozpraszającej, di < 0 dla obrazu pozornego).
do = 15 cmf = −20 cm
di = cm
4.Fale, dźwięk i optykaTrudny
Światło o długości fali 480 nm pada na dwie szczeliny odległe o 0,3 mm. Ekran jest oddalony o 2 m. Znajdź odstęp Δy między sąsiednimi jasnymi prążkami.
λ = 480 nmd = 0,3 mmL = 2 m
Δy = mm
3Roztwory
1.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: x = −12,13 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Pulsacja
ω = √(120/3,9) = 5,547 rad/s
ω·t = 5,547·0,5 = 2,774 rad
Przemieszczenie
x = A·cos(ω·t) = 13·cos(2,774) = −12,13 cm
Odpowiedź
x = −12,13 cm
2.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: vmax = 0,532 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Położenie równowagi i amplituda
x₀ = m·g/k = 1·9,81/340 = 0,02885 m = A
Największa prędkość
Prędkość jest największa w położeniu równowagi.
ω = √(340/1) = 18,44 rad/s
vmax = A·ω = 0,02885·18,44 = 0,532 m/s
Odpowiedź
vmax = 0,532 m/s
3.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: di = −8,571 cm
Optyka geometryczna: na granicy ośrodków n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (prawo Snelliusa), kąty mierzy się od normalnej, a n = c/v. Przy wejściu do wolniejszego ośrodka promień załamuje się ku normalnej. Przy przejściu z ośrodka gęstszego (n₁ > n₂), powyżej kąta granicznego θc = arcsin(n₂/n₁), całe światło zostaje odbite: całkowite wewnętrzne odbicie. Cienkie soczewki i zwierciadła sferyczne spełniają 1/f = 1/do + 1/di z powiększeniem m = −di/do. Konwencja znaków: f > 0 dla soczewki skupiającej i zwierciadła wklęsłego (f = R/2), f < 0 dla soczewki rozpraszającej i zwierciadła wypukłego; di > 0 dla obrazu rzeczywistego, di < 0 dla pozornego, a m < 0 dla obrazu odwróconego.
Równanie cienkiej soczewki
1/di = 1/f − 1/do = 1/(−20) − 1/15
di = −8,571 cm
Diagram promieni
pozorny, po tej samej stronie co przedmiot
Odpowiedź
di = −8,571 cm
4.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: Δy = 3,2 mm
Interferencja i dyfrakcja: światło z dwóch szczelin odległych o d dociera do punktu na ekranie z różnicą dróg d·sin θ. Jasne prążki pojawiają się tam, gdzie d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Dla ekranu w odległości L ≫ d m-ty jasny prążek leży w y = mλL/d, a odstęp między prążkami wynosi Δy = λL/d. Siatka z N liniami na milimetr ma d = 1/N i ostre maksima dla d·sin θ = mλ; ponieważ sin θ ≤ 1, najwyższy rząd to największa liczba całkowita m ≤ d/λ. Pojedyncza szczelina o szerokości a ma ciemne prążki dla a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Odstęp prążków
Δy = λL/d = 480 × 10⁻⁹·2/(0,3 × 10⁻³) = 3,2 mm
Odpowiedź
Δy = 3,2 mm
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics