Fale i optyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Sprężyny i wahadła

Masa na sprężynie: T = 2π·√(m/k)
Wahadło: T = 2π·√(L/g)
Pulsacja: ω = √(k/m) = 2π/T
Maksymalna prędkość i przyspieszenie: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energia: E = ½·k·A²

Fale, dźwięk i optyka

Prędkość fali: v = fλ, T = 1/f
Struna: v = √(T/μ), μ = m/L
Poziom natężenia dźwięku: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Źródło punktowe: I = P/(4πr²)
Fale stojące: struna lub rura otwarta f_n = n·v/(2L); rura zamknięta f_n = n·v/(4L), n nieparzyste
Efekt Dopplera: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Współczynnik załamania: n = c/v, λ = λ₀/n
Prawo Snelliusa: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Kąt graniczny: sin θ_c = n₂/n₁
Światłowód: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Soczewki i zwierciadła: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Podwójna szczelina: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Siatka: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Pojedyncza szczelina: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metoda

Rozpoznaj rodzaj zadania: prędkość fali, poziom dźwięku, fala stojąca, efekt Dopplera, załamanie, soczewka lub zwierciadło albo interferencja.
Najpierw zapisz zależność: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) lub n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Zamień jednostki: nm, mm i cm na m, i sprawdź, czy kąty są mierzone od normalnej.
Sprawdź znaki i wiarygodność: obraz pozorny ma dᵢ < 0, zbliżające się źródło brzmi wyżej, rura zamknięta ma tylko harmoniczne nieparzyste.

2Zadania do ćwiczenia

1.Sprężyny i wahadłaŚredni

Ciężarek o masie 3,8 kg na sprężynie o k = 90 N/m drga na powierzchni bez tarcia z amplitudą 5 cm. Wyznacz jego prędkość v, gdy znajduje się 2 cm od położenia równowagi.

m = 3,8 kgk = 90 N/mA = 5 cmx = 2 cm

v = m/s

2.Sprężyny i wahadłaTrudny

Masę 1,9 kg na sprężynie o k = 210 N/m odciągnięto o 18 cm od położenia równowagi i puszczono. Wyznacz jej maksymalną prędkość v_max.

m = 1,9 kgk = 210 N/mA = 18 cm

v_max = m/s

3.Fale, dźwięk i optykaŚredni

Układ: Rura zamknięta na jednym końcu, długość 1 m, prędkość dźwięku 343 m/s. Znajdź częstotliwość f₇ dla: harmoniczna numer 7.

v = 343 m/sn = 7L = 1 m

f₇ = Hz

4.Fale, dźwięk i optykaTrudny

Światłowód ma rdzeń o n₁ = 1,48 i płaszcz o n₂ = 1,47. Znajdź jego aperturę numeryczną NA.

n₁ = 1,48n₂ = 1,47

NA =

3Roztwory

1.Sprężyny i wahadła

Odpowiedź: v = 0,223 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Pulsacja

ω = √(90/3,8) = 4,867 rad/s

Prędkość w x

v = ω·√(A² − x²) = 4,867·√(0,05² − 0,02²) = 0,223 m/s

Odpowiedź

v = 0,223 m/s

2.Sprężyny i wahadła

Odpowiedź: v_max = 1,892 m/s

Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².

Pulsacja

ω = √(210/1,9) = 10,51 rad/s

Maksymalna prędkość

v_max = A·ω = 0,18·10,51 = 1,892 m/s

Odpowiedź

v_max = 1,892 m/s

3.Fale, dźwięk i optyka

Odpowiedź: f₇ = 600,3 Hz

Fale stojące i efekt Dopplera: struna zamocowana na obu końcach lub rura otwarta na obu końcach mieści całkowitą liczbę półfal: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Rura zamknięta na jednym końcu ma węzeł na końcu zamkniętym i strzałkę na otwartym: L = nλ/4 tylko dla nieparzystych n, f_n = n·v/(4L). Gdy źródło lub obserwator poruszają się wzdłuż linii między nimi, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): górne znaki stosuj dla ruchu ku sobie. Dwie fale o niemal równych częstotliwościach dudnią z częstotliwością |f₁ − f₂|.

Długość fali tego rodzaju drgań

λ = 4L/n = 4·1/7 = 0,5714 m

Częstotliwość

f = v/λ = 343/0,5714 = 600,3 Hz

Odpowiedź

f₇ = 600,3 Hz

4.Fale, dźwięk i optyka

Odpowiedź: NA = 0,1718

Optyka geometryczna: na granicy ośrodków n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (prawo Snelliusa), kąty mierzy się od normalnej, a n = c/v. Przy wejściu do wolniejszego ośrodka promień załamuje się ku normalnej. Przy przejściu z ośrodka gęstszego (n₁ > n₂), powyżej kąta granicznego θ_c = arcsin(n₂/n₁), całe światło zostaje odbite: całkowite wewnętrzne odbicie. Cienkie soczewki i zwierciadła sferyczne spełniają 1/f = 1/d_o + 1/d_i z powiększeniem m = −d_i/d_o. Konwencja znaków: f > 0 dla soczewki skupiającej i zwierciadła wklęsłego (f = R/2), f < 0 dla soczewki rozpraszającej i zwierciadła wypukłego; d_i > 0 dla obrazu rzeczywistego, d_i < 0 dla pozornego, a m < 0 dla obrazu odwróconego.

Kąt graniczny na płaszczu

sin θc = 1,47/1,48 = 0,9932 → θc = 83,34°

Apertura numeryczna

NA = √(1,48² − 1,47²) = 0,1718

Odpowiedź

NA = 0,1718

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics