Sprężyny i wahadła
- Masa na sprężynie
- T = 2π·√(m/k)
- Wahadło
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsacja
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maksymalna prędkość i przyspieszenie
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Fale i optyka: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Fale, dźwięk i optyka
- Prędkość fali
- v = fλ, T = 1/f
- Struna
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Poziom natężenia dźwięku
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Źródło punktowe
- I = P/(4πr²)
- Fale stojące
- struna lub rura otwarta fn = n·v/(2L); rura zamknięta fn = n·v/(4L), n nieparzyste
- Efekt Dopplera
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Współczynnik załamania
- n = c/v, λ = λ0/n
- Prawo Snelliusa
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Kąt graniczny
- sin θc = n2/n1
- Światłowód
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Soczewki i zwierciadła
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Podwójna szczelina
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Siatka
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Pojedyncza szczelina
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metoda
- Rozpoznaj rodzaj zadania: prędkość fali, poziom dźwięku, fala stojąca, efekt Dopplera, załamanie, soczewka lub zwierciadło albo interferencja.
- Najpierw zapisz zależność: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) lub n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Zamień jednostki: nm, mm i cm na m, i sprawdź, czy kąty są mierzone od normalnej.
- Sprawdź znaki i wiarygodność: obraz pozorny ma dᵢ < 0, zbliżające się źródło brzmi wyżej, rura zamknięta ma tylko harmoniczne nieparzyste.
2Zadania do ćwiczenia
1.Sprężyny i wahadłaŚredni
Wahadło matematyczne ma długość 1,1 m. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz jego okres T dla małych wychyleń.
L = 1,1 mg = 9,81 m/s²
T = s
2.Sprężyny i wahadłaTrudny
Ciało wykonuje ruch harmoniczny z okresem 1,6 s i amplitudą 17 cm. Jaki najkrótszy czas t jest potrzebny, aby przejść z maksymalnego wychylenia 17 cm do wychylenia 13,6 cm?
T = 1,6 sA = 17 cmx = 13,6 cm
t = s
3.Fale, dźwięk i optykaŚredni
Małe źródło wysyła dźwięk równo we wszystkich kierunkach. Poziom wynosi 90 dB w odległości 5 m od niego. Znajdź poziom β2 w odległości 25 m, pomijając pochłanianie i odbicia.
β1 = 90 dBr1 = 5 mr2 = 25 m
β2 = dB
4.Fale, dźwięk i optykaTrudny
Siatka dyfrakcyjna ma 1200 linii na milimetr. Światło o długości fali 589 nm pada na nią pod kątem prostym. Jaki jest najwyższy rząd mmax jasnego maksimum, jaki można zobaczyć?
N = 1200 mm⁻¹λ = 589 nm
mmax =
3Roztwory
1.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: T = 2,104 s
Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².
Okres wahadła
T = 2π·√(1,1/9,81) = 2,104 s
Odpowiedź
T = 2,104 s
2.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: t = 0,1639 s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Pulsacja
ω = 2π/T = 2π/1,6 = 3,927 rad/s
Wyznacz czas
0,8 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,8) = 0,6435 rad
t = 0,6435/3,927 = 0,1639 s
Odpowiedź
t = 0,1639 s
3.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: β2 = 76,02 dB
Fale: fala okresowa przesuwa się o jedną długość fali w ciągu jednego okresu, więc v = fλ, gdzie T = 1/f. Na napiętej strunie v = √(T/μ), gdzie T to naciąg, a μ = m/L to masa na metr. Dźwięk w powietrzu rozchodzi się z prędkością około 343 m/s w 20 °C, światło w próżni z c = 3,00 × 10⁸ m/s. Głośność mierzy się w skali logarytmicznej: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, gdzie I₀ = 10⁻¹² W/m², więc 10 razy większe natężenie dodaje 10 dB. Źródło punktowe rozprasza moc P na sferę: I = P/(4πr²).
Stosunek natężeń
I₂/I₁ = (5/25)² = 0,04
Nowy poziom
β₂ = 90 + 10·log₁₀(0,04) = 76,02 dB
Odpowiedź
β2 = 76,02 dB
Każde podwojenie odległości obniża poziom o około 6 dB.
4.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: mmax = 1
Interferencja i dyfrakcja: światło z dwóch szczelin odległych o d dociera do punktu na ekranie z różnicą dróg d·sin θ. Jasne prążki pojawiają się tam, gdzie d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Dla ekranu w odległości L ≫ d m-ty jasny prążek leży w y = mλL/d, a odstęp między prążkami wynosi Δy = λL/d. Siatka z N liniami na milimetr ma d = 1/N i ostre maksima dla d·sin θ = mλ; ponieważ sin θ ≤ 1, najwyższy rząd to największa liczba całkowita m ≤ d/λ. Pojedyncza szczelina o szerokości a ma ciemne prążki dla a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Odstęp linii
d = 1/1200 mm = 0,8333 µm
Najwyższy rząd
m ≤ d/λ = 0,8333 µm/0,589 µm = 1,415 → mmax = 1
Odpowiedź
mmax = 1
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics