Sprężyny i wahadła
- Masa na sprężynie
- T = 2π·√(m/k)
- Wahadło
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsacja
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maksymalna prędkość i przyspieszenie
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Fale i optyka: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Fale, dźwięk i optyka
- Prędkość fali
- v = fλ, T = 1/f
- Struna
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Poziom natężenia dźwięku
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Źródło punktowe
- I = P/(4πr²)
- Fale stojące
- struna lub rura otwarta fn = n·v/(2L); rura zamknięta fn = n·v/(4L), n nieparzyste
- Efekt Dopplera
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Współczynnik załamania
- n = c/v, λ = λ0/n
- Prawo Snelliusa
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Kąt graniczny
- sin θc = n2/n1
- Światłowód
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Soczewki i zwierciadła
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Podwójna szczelina
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Siatka
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Pojedyncza szczelina
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metoda
- Rozpoznaj rodzaj zadania: prędkość fali, poziom dźwięku, fala stojąca, efekt Dopplera, załamanie, soczewka lub zwierciadło albo interferencja.
- Najpierw zapisz zależność: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) lub n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Zamień jednostki: nm, mm i cm na m, i sprawdź, czy kąty są mierzone od normalnej.
- Sprawdź znaki i wiarygodność: obraz pozorny ma dᵢ < 0, zbliżające się źródło brzmi wyżej, rura zamknięta ma tylko harmoniczne nieparzyste.
2Zadania do ćwiczenia
1.Sprężyny i wahadłaŚredni
Ciężarek o masie 1,7 kg na sprężynie o k = 190 N/m drga na powierzchni bez tarcia z amplitudą 14 cm. Wyznacz jego prędkość v, gdy znajduje się 7 cm od położenia równowagi.
m = 1,7 kgk = 190 N/mA = 14 cmx = 7 cm
v = m/s
2.Sprężyny i wahadłaTrudny
Ciało wykonuje ruch harmoniczny z okresem 1,5 s i amplitudą 20 cm. Jaki najkrótszy czas t jest potrzebny, aby przejść z położenia równowagi do wychylenia 14 cm?
T = 1,5 sA = 20 cmx = 14 cm
t = s
3.Fale, dźwięk i optykaŚredni
Przedmiot o wysokości 5 cm stoi 25 cm przed cienką soczewką (typ: skupiająca) o ogniskowej 10 cm. Znajdź wysokość obrazu hi (ujemną dla obrazu odwróconego).
ho = 5 cmdo = 25 cmf = 10 cm
hi = cm
4.Fale, dźwięk i optykaTrudny
Światłowód ma rdzeń o n₁ = 1,48 i płaszcz o n₂ = 1,38. Znajdź największy kąt θa względem osi włókna, pod którym światło z powietrza może wejść w koniec włókna i nadal być prowadzone przez całkowite wewnętrzne odbicie.
n1 = 1,48n2 = 1,38n0 = 1,00
θa = °
3Roztwory
1.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: v = 1,282 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Pulsacja
ω = √(190/1,7) = 10,57 rad/s
Prędkość w x
v = ω·√(A² − x²) = 10,57·√(0,14² − 0,07²) = 1,282 m/s
Odpowiedź
v = 1,282 m/s
2.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: t = 0,1851 s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Pulsacja
ω = 2π/T = 2π/1,5 = 4,189 rad/s
Wyznacz czas
0,7 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,7) = 0,7754 rad
t = 0,7754/4,189 = 0,1851 s
Odpowiedź
t = 0,1851 s
3.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: hi = −3,333 cm
Optyka geometryczna: na granicy ośrodków n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (prawo Snelliusa), kąty mierzy się od normalnej, a n = c/v. Przy wejściu do wolniejszego ośrodka promień załamuje się ku normalnej. Przy przejściu z ośrodka gęstszego (n₁ > n₂), powyżej kąta granicznego θc = arcsin(n₂/n₁), całe światło zostaje odbite: całkowite wewnętrzne odbicie. Cienkie soczewki i zwierciadła sferyczne spełniają 1/f = 1/do + 1/di z powiększeniem m = −di/do. Konwencja znaków: f > 0 dla soczewki skupiającej i zwierciadła wklęsłego (f = R/2), f < 0 dla soczewki rozpraszającej i zwierciadła wypukłego; di > 0 dla obrazu rzeczywistego, di < 0 dla pozornego, a m < 0 dla obrazu odwróconego.
Równanie cienkiej soczewki
1/di = 1/f − 1/do = 1/10 − 1/25
di = 16,67 cm
Powiększenie i wysokość
m = −16,67/25 = −0,6667
hi = −0,6667·5 = −3,333 cm
Odpowiedź
hi = −3,333 cm
4.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: θa = 32,33 °
Optyka geometryczna: na granicy ośrodków n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (prawo Snelliusa), kąty mierzy się od normalnej, a n = c/v. Przy wejściu do wolniejszego ośrodka promień załamuje się ku normalnej. Przy przejściu z ośrodka gęstszego (n₁ > n₂), powyżej kąta granicznego θc = arcsin(n₂/n₁), całe światło zostaje odbite: całkowite wewnętrzne odbicie. Cienkie soczewki i zwierciadła sferyczne spełniają 1/f = 1/do + 1/di z powiększeniem m = −di/do. Konwencja znaków: f > 0 dla soczewki skupiającej i zwierciadła wklęsłego (f = R/2), f < 0 dla soczewki rozpraszającej i zwierciadła wypukłego; di > 0 dla obrazu rzeczywistego, di < 0 dla pozornego, a m < 0 dla obrazu odwróconego.
Kąt graniczny na płaszczu
sin θc = 1,38/1,48 = 0,9324 → θc = 68,82°
Apertura numeryczna
NA = √(1,48² − 1,38²) = 0,5348
Kąt akceptacji
θa = arcsin(0,5348) = 32,33°
Odpowiedź
θa = 32,33°
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics